Номер 792, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

792. Основания $AC$ и $PR$ треугольников $ABC$ и $PQR$ находятся на одной прямой, $AB = PQ$, $BC = QR$, $\angle ABC = \angle PQR$, $M$ — общая середина отрезков $CR$ и $AP$ (рис. 253). Учитывая, что треугольники $ABC$ и $PQR$ расположены по одну сторону от прямой $AC$, докажите, что:

а) треугольник $BQM$ равнобедренный;

б) прямые $BQ$ и $AP$ параллельны.

Рис. 253

Для доказательства воспользуемся методом геометрических преобразований, в частности, центральной симметрией.

Рассмотрим центральную симметрию $S_M$ с центром в точке $M$.

По условию, $M$ — общая середина отрезков $CR$ и $AP$. Это означает, что:

• При симметрии относительно точки $M$ точка $C$ переходит в точку $R$, и наоборот ($S_M(C) = R$).
• При симметрии относительно точки $M$ точка $A$ переходит в точку $P$, и наоборот ($S_M(A) = P$).

Пусть образом точки $B$ при этой симметрии будет точка $B'$, то есть $S_M(B) = B'$.

Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния и углы. Следовательно, треугольник $ABC$ при симметрии $S_M$ перейдет в равный ему треугольник $PB'R$. Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle PB'R$.

Из этого равенства треугольников следуют равенства соответствующих сторон и углов:

$PB' = AB$, $B'R = BC$, $\angle PB'R = \angle ABC$.

По условию задачи нам дано, что $AB = PQ$, $BC = QR$, $\angle ABC = \angle PQR$.

Сравнивая полученные равенства с данными в условии, приходим к выводу, что:

$PB' = PQ$ и $B'R = QR$.

Равенство $PB' = PQ$ означает, что точка $P$ равноудалена от точек $B'$ и $Q$. Аналогично, из $B'R = QR$ следует, что точка $R$ равноудалена от точек $B'$ и $Q$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть его серединный перпендикуляр. Следовательно, точки $P$ и $R$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $B'Q$. Так как через две различные точки проходит единственная прямая, то прямая $PR$ (которая является частью прямой $AP$) и есть серединный перпендикуляр к отрезку $B'Q$.

Теперь, используя этот вывод, докажем оба пункта задачи.

Мы установили, что прямая $AP$ является серединным перпендикуляром к отрезку $B'Q$. Точка $M$ по условию лежит на прямой $AP$.

Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Следовательно, точка $M$ равноудалена от точек $B'$ и $Q$, то есть $MQ = MB'$.

По определению центральной симметрии, точка $M$ является серединой отрезка $BB'$ (так как $B'$ — образ $B$ при симметрии относительно $M$). Отсюда следует, что $MB = MB'$.

Сопоставляя два равенства, $MQ = MB'$ и $MB = MB'$, получаем $MQ = MB$.

Поскольку две стороны треугольника $BQM$ равны ($BM = QM$), он является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $BQM$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Из того, что прямая $AP$ является серединным перпендикуляром к отрезку $B'Q$, следует, что эти прямые перпендикулярны: $AP \perp B'Q$.

Рассмотрим треугольник $BB'Q$.

Точка $M$ — середина стороны $BB'$ по определению центральной симметрии.

Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AP$ и $B'Q$. Так как $AP$ — серединный перпендикуляр к $B'Q$, точка $K$ является серединой стороны $B'Q$.

Таким образом, отрезок $MK$ соединяет середины сторон $BB'$ и $B'Q$ в треугольнике $BB'Q$. Следовательно, $MK$ — средняя линия этого треугольника.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне, то есть $MK \parallel BQ$.

Поскольку обе точки $M$ и $K$ лежат на прямой $AP$, то прямая $MK$ совпадает с прямой $AP$.

Из $MK \parallel BQ$ следует, что $AP \parallel BQ$.

Ответ: Прямые $BQ$ и $AP$ параллельны, что и требовалось доказать.