Номер 797, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

797. Точка K катета прямоугольного треугольника равноудалена от вершин острых углов и находится на расстояния 7 см от вершины прямого угла (рис. 256). Найдите больший катет треугольника, учитывая, что гипотенуза равна 40 см.

Рис. 256

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$. По условию задачи, гипотенуза $AB = 40$ см.

Точка $K$ лежит на одном из катетов. Судя по рисунку, пусть точка $K$ лежит на катете $BC$. Расстояние от точки $K$ до вершины прямого угла $C$ равно 7 см, то есть $CK = 7$ см.

Также по условию точка $K$ равноудалена от вершин острых углов $A$ и $B$. Это означает, что отрезки $AK$ и $BK$ равны: $AK = BK$.

Обозначим длины катетов как $AC = a$ и $BC = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$ (угол $C$ — прямой). По теореме Пифагора:

$AK^2 = AC^2 + CK^2 = a^2 + 7^2 = a^2 + 49$.

Длина отрезка $BK$ может быть выражена через длину катета $BC$:

$BK = BC - CK = b - 7$.

Так как $AK = BK$, то и их квадраты равны: $AK^2 = BK^2$.

$a^2 + 49 = (b - 7)^2$

$a^2 + 49 = b^2 - 14b + 49$

$a^2 = b^2 - 14b$

Теперь применим теорему Пифагора к основному треугольнику $ABC$:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$a^2 + b^2 = 40^2 = 1600$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a^2 = b^2 - 14b \\ a^2 + b^2 = 1600 \end{cases}$

Подставим выражение для $a^2$ из первого уравнения во второе:

$(b^2 - 14b) + b^2 = 1600$

$2b^2 - 14b - 1600 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$b^2 - 7b - 800 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-800) = 49 + 3200 = 3249$

$\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$

Найдем корни уравнения:

$b_1 = \frac{7 + 57}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$b_2 = \frac{7 - 57}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как длина катета не может быть отрицательной, то $b = 32$ см.

Теперь найдем длину второго катета $a$:

$a^2 = b^2 - 14b = 32^2 - 14 \cdot 32 = 1024 - 448 = 576$

$a = \sqrt{576} = 24$ см.

Итак, длины катетов равны 24 см и 32 см. Нам нужно найти больший катет.

$32 > 24$, следовательно, больший катет равен 32 см.

Ответ: 32 см.