Номер 791, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

791. Докажите, что прямоугольные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если равны их гипотенузы и одинаковы суммы их катетов.

Пусть даны два прямоугольных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Обозначим длины их катетов как $a, b$ и $a_1, b_1$ соответственно, а длины гипотенуз как $c$ и $c_1$.
По условию задачи нам дано:
1) Гипотенузы равны: $c = c_1$.
2) Суммы катетов равны: $a + b = a_1 + b_1$.
Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Для треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$.
Для треугольника $A_1B_1C_1$: $a_1^2 + b_1^2 = c_1^2$.
Из условия $c = c_1$ следует, что $c^2 = c_1^2$. Следовательно, мы можем приравнять левые части уравнений теоремы Пифагора для наших треугольников:
$a^2 + b^2 = a_1^2 + b_1^2$.
Теперь воспользуемся вторым условием $a + b = a_1 + b_1$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:
$(a + b)^2 = (a_1 + b_1)^2$
$a^2 + 2ab + b^2 = a_1^2 + 2a_1b_1 + b_1^2$
Мы можем переписать это равенство, сгруппировав члены:
$(a^2 + b^2) + 2ab = (a_1^2 + b_1^2) + 2a_1b_1$
Поскольку мы уже установили, что $a^2 + b^2 = a_1^2 + b_1^2$, мы можем вычесть эту часть из обеих сторон равенства. В результате получаем:
$2ab = 2a_1b_1$
$ab = a_1b_1$
Таким образом, мы получили систему двух уравнений, связывающих длины катетов:
$a + b = a_1 + b_1$
$ab = a_1b_1$
Согласно теореме Виета, если два числа имеют одинаковую сумму и одинаковое произведение, то они являются корнями одного и того же квадратного уравнения. В нашем случае это означает, что набор длин катетов $\{a, b\}$ совпадает с набором длин $\{a_1, b_1\}$.
Это приводит к двум возможным случаям:
1. $a = a_1$ и $b = b_1$.
2. $a = b_1$ и $b = a_1$.
В обоих случаях катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого. Прямоугольные треугольники равны, если их катеты равны (по двум катетам, что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).
Следовательно, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.