Номер 788, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

788. У треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны углы $A$ и $A_1$, а также высоты $BH$ и $B_1H_1$, $CF$ и $C_1F_1$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABH $, который образован высотой $ BH $ (поэтому $ \angle AHB = 90^\circ $). Также рассмотрим соответствующий ему прямоугольный треугольник $ \triangle A_1B_1H_1 $ ($ \angle A_1H_1B_1 = 90^\circ $). В этих треугольниках равны острый угол ($ \angle A = \angle A_1 $ по условию) и противолежащий ему катет ($ BH = B_1H_1 $ по условию). Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ равны по катету и противолежащему углу. Из их равенства следует равенство гипотенуз: $ AB = A_1B_1 $.

Аналогично рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle ACF $ ($ \angle AFC = 90^\circ $) и $ \triangle A_1C_1F_1 $ ($ \angle A_1F_1C_1 = 90^\circ $). В них также равны острый угол ($ \angle A = \angle A_1 $ по условию) и противолежащий ему катет ($ CF = C_1F_1 $ по условию). Значит, $ \triangle ACF = \triangle A_1C_1F_1 $, и из этого следует равенство их гипотенуз: $ AC = A_1C_1 $.

Теперь сравним исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы доказали, что сторона $ AB $ равна стороне $ A_1B_1 $, а сторона $ AC $ равна стороне $ A_1C_1 $. Угол $ \angle A $, лежащий между этими сторонами, равен углу $ \angle A_1 $ по условию.
Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Ответ: Равенство треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ доказано.