Номер 782, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

782. Окружности, вписанные в сегмент, касаются его дуги и основания в точках $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$ соответственно (рис. 250). Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ проходят через одну точку.

Рис. 250

Для доказательства воспользуемся методом гомотетии.

Пусть $\Omega$ — это окружность, дуга которой ограничивает данный сегмент, а $l$ — прямая, содержащая основание этого сегмента. Рассмотрим одну из вписанных в сегмент окружностей, назовем ее $\omega_A$. По условию, окружность $\omega_A$ касается дуги окружности $\Omega$ в точке $A$ и прямой $l$ в точке $A_1$.

Поскольку окружности $\Omega$ и $\omega_A$ касаются в точке $A$, существует гомотетия $H$ с центром в точке $A$, которая переводит окружность $\omega_A$ в окружность $\Omega$. Так как окружность $\omega_A$ находится внутри $\Omega$, коэффициент гомотетии $k$ будет положительным и равным отношению их радиусов $k = R/r_A > 1$.

При этой гомотетии прямая $l$, которая является касательной к окружности $\omega_A$ в точке $A_1$, перейдет в прямую $l'$, параллельную прямой $l$ и касающуюся окружности $\Omega$. Точка касания $A_1$ на прямой $l$ перейдет в точку касания $M$ на прямой $l'$. Таким образом, $M = H(A_1)$.

По определению гомотетии, центр гомотетии $A$, точка $A_1$ и ее образ $M$ лежат на одной прямой. Это означает, что прямая $AA_1$ проходит через точку $M$.

Теперь покажем, что точка $M$ является одной и той же для всех подобных вписанных окружностей. Точка $M$ — это точка на окружности $\Omega$, в которой касательная параллельна прямой $l$. Таких точек на окружности $\Omega$ две. Одна из них, назовем ее $M_{сег}$, лежит на дуге сегмента. Другая, $M_{прот}$, лежит на дополнительной дуге окружности $\Omega$.

Чтобы определить, какая из этих двух точек является точкой $M$, рассмотрим взаимное расположение объектов. Пусть $\Pi^+$ — полуплоскость, ограниченная прямой $l$ и содержащая сегмент. Вписанная окружность $\omega_A$ целиком лежит в $\Pi^+$. Вектор, проведенный из точки касания $A_1$ к центру окружности $\omega_A$, перпендикулярен прямой $l$ и направлен вглубь полуплоскости $\Pi^+$.

Поскольку коэффициент гомотетии $k$ положителен, образ этого вектора (то есть вектор из точки $M$ в центр окружности $\Omega$) будет сонаправлен исходному. Следовательно, он также должен быть перпендикулярен прямой $l$ (а значит, и прямой $l'$) и направлен в ту же сторону, вглубь $\Pi^+$.

Если мы рассмотрим точку $M_{сег}$, то вектор, идущий из нее к центру $\Omega$, будет направлен из полуплоскости $\Pi^+$. Если же мы рассмотрим точку $M_{прот}$, то вектор, идущий из нее к центру $\Omega$, будет направлен вглубь полуплоскости $\Pi^+$. Таким образом, наша точка $M$ — это точка $M_{прот}$.

Положение точки $M_{прот}$ определяется только исходным сегментом (т.е. окружностью $\Omega$ и прямой $l$) и не зависит от выбора конкретной вписанной окружности.

Следовательно, прямая $AA_1$ проходит через эту фиксированную точку $M_{прот}$. Аналогично, для двух других окружностей, касающихся дуги и основания в точках $B, B_1$ и $C, C_1$, прямые $BB_1$ и $CC_1$ также проходят через ту же самую точку $M_{прот}$.

Таким образом, все три прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ проходят через одну точку.

Ответ: Прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ проходят через одну и ту же точку, которая является полюсом основания сегмента относительно содержащей его окружности, лежащим вне сегмента. Что и требовалось доказать.