Номер 783, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

783. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$, окружности, вписанные в треугольники $AMB$ и $AMC$, касаются ее в точках $K$ и $L$. Найдите длину отрезка $KL$, учитывая, что $AB = 10$ и $AC = 6$.

Для нахождения длины отрезка $KL$ воспользуемся свойством вписанной в треугольник окружности. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности на одной из прилежащих сторон вычисляется по формуле: $d = p - a$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $a$ — длина стороны, противолежащей данной вершине.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Его стороны — $AB, BM, AM$. Полупериметр $p_{AMB} = \frac{AB + BM + AM}{2}$. Точка $K$ — точка касания вписанной окружности на стороне $AM$. Расстояние от вершины $A$ до точки $K$ находится как разность полупериметра $p_{AMB}$ и противолежащей стороны $BM$:

$AK = p_{AMB} - BM = \frac{AB + BM + AM}{2} - BM = \frac{AB + BM + AM - 2BM}{2} = \frac{AB + AM - BM}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. Его стороны — $AC, CM, AM$. Полупериметр $p_{AMC} = \frac{AC + CM + AM}{2}$. Точка $L$ — точка касания вписанной окружности на стороне $AM$. Расстояние от вершины $A$ до точки $L$ находится как разность полупериметра $p_{AMC}$ и противолежащей стороны $CM$:

$AL = p_{AMC} - CM = \frac{AC + CM + AM}{2} - CM = \frac{AC + CM + AM - 2CM}{2} = \frac{AC + AM - CM}{2}$

Точки $K$ и $L$ лежат на отрезке $AM$. Длина отрезка $KL$ равна модулю разности длин $AK$ и $AL$:

$KL = |AK - AL| = \left| \frac{AB + AM - BM}{2} - \frac{AC + AM - CM}{2} \right|$

Упростим это выражение:

$KL = \frac{1}{2} |(AB + AM - BM) - (AC + AM - CM)| = \frac{1}{2} |AB + AM - BM - AC - AM + CM| = \frac{1}{2} |AB - AC - BM + CM|$

По условию задачи, $AM$ — медиана треугольника $ABC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = CM$. С учетом этого равенства, выражение для $KL$ принимает вид:

$KL = \frac{1}{2} |AB - AC - BM + BM| = \frac{1}{2} |AB - AC|$

Подставим в полученную формулу данные из условия задачи: $AB = 10$ и $AC = 6$.

$KL = \frac{1}{2} |10 - 6| = \frac{1}{2} |4| = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2