Номер 786, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

786. Найдите стороны прямоугольника, учитывая, что они отличаются на единицу, а основание перпендикуляра, опущенного из вершины на диагональ, находится на расстоянии $13\frac{23}{29}$ от ее ближайшего конца (рис. 252).

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, они отличаются на единицу. Пусть $a$ — меньшая сторона, тогда большая сторона будет $b = a + 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон:

$d^2 = a^2 + b^2 = a^2 + (a+1)^2 = a^2 + a^2 + 2a + 1 = 2a^2 + 2a + 1$

Пусть из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр. Основание этого перпендикуляра делит диагональ на два отрезка, которые являются проекциями сторон (катетов) на диагональ (гипотенузу). Длина проекции меньшей стороны $a$ на диагональ будет меньше, чем проекция большей стороны $b$. Следовательно, расстояние от основания перпендикуляра до ближайшего конца диагонали равно проекции меньшей стороны $a$. Обозначим эту проекцию как $p_a$.

По условию задачи, $p_a = 13\frac{23}{29}$. Переведем это значение в неправильную дробь:

$p_a = 13\frac{23}{29} = \frac{13 \cdot 29 + 23}{29} = \frac{377 + 23}{29} = \frac{400}{29}$

В прямоугольном треугольнике существует метрическое соотношение, согласно которому квадрат катета равен произведению его проекции на гипотенузу и всей гипотенузы. Для стороны $a$ это соотношение выглядит так:

$a^2 = p_a \cdot d$

Подставим известное значение $p_a$ в эту формулу:

$a^2 = \frac{400}{29} d$

Из этого уравнения мы можем выразить длину диагонали $d$ через сторону $a$:

$d = \frac{29a^2}{400}$

Теперь у нас есть два выражения для $d$ и $d^2$. Подставим выражение для $d$ в уравнение теоремы Пифагора $d^2 = 2a^2 + 2a + 1$:

$\left(\frac{29a^2}{400}\right)^2 = 2a^2 + 2a + 1$

$\frac{841a^4}{160000} = 2a^2 + 2a + 1$

Для нахождения $a$ можно решить это уравнение. Заметим, что из соотношения $d = \frac{29a^2}{400}$ следует, что если мы предположим, что стороны прямоугольника — целые числа, то $a$ может быть числом, которое упростит дробь. Попробуем подставить $a=20$:

$d = \frac{29 \cdot 20^2}{400} = \frac{29 \cdot 400}{400} = 29$

Теперь проверим, выполняются ли эти значения для уравнения Пифагора:

Левая часть: $d^2 = 29^2 = 841$.

Правая часть: $2a^2 + 2a + 1 = 2 \cdot 20^2 + 2 \cdot 20 + 1 = 2 \cdot 400 + 40 + 1 = 800 + 40 + 1 = 841$.

Поскольку левая и правая части равны ($841 = 841$), наше предположение оказалось верным. Меньшая сторона прямоугольника $a=20$.

Тогда большая сторона $b = a + 1 = 20 + 1 = 21$.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 20 и 21.

Ответ: 20 и 21.