Номер 787, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

787. У треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны стороны $AB$ и $A_1B_1$, высоты $CF$ и $C_1F_1$, а также медианы $CM$ и $C_1M_1$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Пусть даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По условию задачи нам известно, что:

• Стороны $AB$ и $A_1B_1$ равны: $AB = A_1B_1$.
• Высоты $CF$ и $C_1F_1$, проведенные к этим сторонам, равны: $CF = C_1F_1$. Из определения высоты следует, что $CF \perp AB$ и $C_1F_1 \perp A_1B_1$.
• Медианы $CM$ и $C_1M_1$, проведенные к этим сторонам, равны: $CM = C_1M_1$. Из определения медианы следует, что $M$ — середина $AB$, а $M_1$ — середина $A_1B_1$.

Доказательство

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle CFM$ и $\triangle C_1F_1M_1$. Угол $\angle CFM = 90^\circ$, так как $CF$ — высота. Аналогично, $\angle C_1F_1M_1 = 90^\circ$. В этих треугольниках:
- $CF = C_1F_1$ (катет, по условию),
- $CM = C_1M_1$ (гипотенуза, по условию).
Следовательно, $\triangle CFM \cong \triangle C_1F_1M_1$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе).

2. Из равенства треугольников $\triangle CFM$ и $\triangle C_1F_1M_1$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов: $FM = F_1M_1$.

3. Поскольку $CM$ и $C_1M_1$ — медианы, а стороны $AB$ и $A_1B_1$ равны, то их половины также равны:
$AM = MB = \frac{1}{2}AB$
$A_1M_1 = M_1B_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$
Отсюда $AM = A_1M_1$.

4. Теперь найдем выражения для сторон $AC$ и $BC$ (и аналогично для $A_1C_1$ и $B_1C_1$) через известные нам отрезки, используя теорему Пифагора.
Из прямоугольных треугольников $\triangle AFC$ и $\triangle BFC$ имеем:
$AC^2 = AF^2 + CF^2$
$BC^2 = BF^2 + CF^2$

5. Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения точек на прямой $AB$.

Случай 1: Точка $F$ лежит между $A$ и $M$. Тогда точка $F_1$ может лежать либо между $A_1$ и $M_1$, либо между $B_1$ и $M_1$.

а) Если $F_1$ лежит между $A_1$ и $M_1$, то:
$AF = AM - FM$ и $BF = BM + FM = AM + FM$.
$A_1F_1 = A_1M_1 - F_1M_1$ и $B_1F_1 = B_1M_1 + F_1M_1 = A_1M_1 + F_1M_1$.
Так как $AM=A_1M_1$ и $FM=F_1M_1$, то $AF = A_1F_1$ и $BF = B_1F_1$.
Тогда $AC^2 = AF^2 + CF^2 = A_1F_1^2 + C_1F_1^2 = A_1C_1^2$, откуда $AC=A_1C_1$.
И $BC^2 = BF^2 + CF^2 = B_1F_1^2 + C_1F_1^2 = B_1C_1^2$, откуда $BC=B_1C_1$.
Таким образом, три стороны $\triangle ABC$ равны трем сторонам $\triangle A_1B_1C_1$ ($AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$), значит $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников.

б) Если $F_1$ лежит между $B_1$ и $M_1$, то:
$AF = AM - FM$ и $BF = AM + FM$.
$A_1F_1 = A_1M_1 + F_1M_1$ и $B_1F_1 = B_1M_1 - F_1M_1 = A_1M_1 - F_1M_1$.
Так как $AM=A_1M_1$ и $FM=F_1M_1$, то $AF = B_1F_1$ и $BF = A_1F_1$.
Тогда $AC^2 = AF^2 + CF^2 = B_1F_1^2 + C_1F_1^2 = B_1C_1^2$, откуда $AC=B_1C_1$.
И $BC^2 = BF^2 + CF^2 = A_1F_1^2 + C_1F_1^2 = A_1C_1^2$, откуда $BC=A_1C_1$.
В этом случае мы имеем $AB=A_1B_1$, $AC=B_1C_1$ и $BC=A_1C_1$. Это также означает, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников.

Случай 2: Точка $M$ лежит между $A$ и $F$. Рассуждения аналогичны Случаю 1 и также приводят к выводу о равенстве треугольников.

Во всех возможных конфигурациях мы доказали, что стороны одного треугольника соответственно равны сторонам другого. Следовательно, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.