Номер 794, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

794. Точки $K, L, M$ на сторонах треугольника $ABC$ отмечены так, что $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$, $KL \parallel AB$, $LM$ — биссектриса треугольника $KLC$. Докажите, что $LM \parallel AK$.

Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $BAC$ в треугольнике $ABC$, она делит этот угол на два равных угла. Обозначим эти углы:
$\angle BAK = \angle KAC = \alpha$.
Таким образом, весь угол $BAC$ равен $2\alpha$.

Из условия задачи известно, что прямая $KL$ параллельна стороне $AB$ ($KL \parallel AB$). Рассмотрим эти параллельные прямые и прямую $AC$ в качестве секущей. Соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. В данном случае это углы $\angle KLC$ и $\angle BAC$.
Следовательно, $\angle KLC = \angle BAC = 2\alpha$.

Далее, по условию, $LM$ — биссектриса угла $KLC$. Это означает, что $LM$ делит угол $KLC$ на два равных угла:
$\angle KLM = \angle MLC = \frac{1}{2}\angle KLC$.
Подставив найденное значение для $\angle KLC$, получаем:
$\angle MLC = \frac{1}{2}(2\alpha) = \alpha$.

Теперь рассмотрим прямые $AK$ и $LM$ и секущую $AC$. Точки $A$, $L$, $C$ лежат на одной прямой.

• Угол, который образует прямая $AK$ с секущей $AC$, — это угол $\angle KAC$. Мы его определили как $\alpha$.
• Угол, который образует прямая $LM$ с секущей $AC$, — это угол $\angle MLC$ (также известный как $\angle ALM$). Мы вычислили, что он равен $\alpha$.

Углы $\angle KAC$ и $\angle MLC$ являются соответственными углами для прямых $AK$ и $LM$ при секущей $AC$.

Поскольку мы установили, что $\angle KAC = \angle MLC = \alpha$, то есть соответственные углы равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AK$ и $LM$ параллельны.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.