Номер 801, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

801. Диагонали параллелограмма $ABCD$, равные 56 см и 34 см, пересекаются в точке $Q$. Периметры треугольников $AQB$ и $BQC$ равны 70 см и 84 см соответственно. Найдите периметр параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $Q$. Согласно условию, длины диагоналей равны 56 см и 34 см. Пусть $AC = 56$ см и $BD = 34$ см. Периметры треугольников $AQB$ и $BQC$ равны $P_{AQB} = 70$ см и $P_{BQC} = 84$ см соответственно.

По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Поэтому мы можем найти длины отрезков $AQ$, $QC$, $BQ$ и $QD$:

$AQ = QC = \frac{1}{2} AC = \frac{56}{2} = 28$ см.

$BQ = QD = \frac{1}{2} BD = \frac{34}{2} = 17$ см.

Периметр треугольника $AQB$ равен сумме длин его сторон:

$P_{AQB} = AB + AQ + BQ$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти длину стороны $AB$:

$70 = AB + 28 + 17$

$70 = AB + 45$

$AB = 70 - 45 = 25$ см.

Аналогично, периметр треугольника $BQC$ равен:

$P_{BQC} = BC + BQ + QC$

Подставим известные значения, чтобы найти длину стороны $BC$:

$84 = BC + 17 + 28$

$84 = BC + 45$

$BC = 84 - 45 = 39$ см.

Теперь мы знаем длины двух смежных сторон параллелограмма: $AB = 25$ см и $BC = 39$ см. Периметр параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле $P_{ABCD} = 2(AB + BC)$, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

$P_{ABCD} = 2(25 + 39) = 2 \times 64 = 128$ см.

Ответ: 128 см.