Номер 800, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

800. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $Q$, $M$ — середина отрезка $AB$. Найдите длину отрезка $QM$, учитывая, что $CD = 20$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны. Следовательно, $AB = CD$. Из условия задачи известно, что $CD = 20$, значит, $AB = 20$.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$.

По условию $AQ$ является биссектрисой угла $A$, а $BQ$ — биссектрисой угла $B$. Это означает, что:
$\angle QAB = \frac{1}{2} \angle DAB$
$\angle QBA = \frac{1}{2} \angle CBA$

Рассмотрим треугольник $AQB$. Найдем сумму углов $\angle QAB$ и $\angle QBA$:
$\angle QAB + \angle QBA = \frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle CBA = \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle CBA)$
Подставив известное значение суммы углов $A$ и $B$, получим:
$\angle QAB + \angle QBA = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$

Сумма углов в треугольнике $AQB$ равна $180^\circ$. Тогда угол $\angle AQB$ равен:
$\angle AQB = 180^\circ - (\angle QAB + \angle QBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Это означает, что треугольник $AQB$ является прямоугольным, где $AB$ — гипотенуза, а угол при вершине $Q$ — прямой.

По условию, точка $M$ — середина отрезка $AB$. Следовательно, отрезок $QM$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$.

Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы. Таким образом:
$QM = \frac{1}{2} AB$
Так как $AB = 20$, то:
$QM = \frac{1}{2} \times 20 = 10$

Ответ: 10