Номер 807, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

807. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, учитывая, что перпендикуляр, опущенный на диагональ из вершины прямоугольника, образует со стороной угол $64^\circ$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Проведем из вершины $B$ перпендикуляр $BH$ к диагонали $AC$.

По условию задачи, угол между перпендикуляром $BH$ и одной из сторон прямоугольника равен $64^\circ$. Допустим, это сторона $AB$, то есть $\angle ABH = 64^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABH$. Так как $BH$ — перпендикуляр к $AC$, то $\triangle ABH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BHA = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Отсюда находим угол $\angle BAH$:

$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$.

Угол $\angle BAH$ — это тот же угол, что и угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$, то есть $\angle OAB = 26^\circ$.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = BO$. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:

$\angle OBA = \angle OAB = 26^\circ$.

Угол $\angle AOB$ — это один из углов между диагоналями. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для $\triangle AOB$ имеем:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (26^\circ + 26^\circ) = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

Диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $128^\circ$. Вторая пара — это смежные с ними углы. Найдем второй, острый угол между диагоналями (например, $\angle BOC$):

$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.

Таким образом, углы между диагоналями равны $128^\circ$ и $52^\circ$. Обычно, когда говорят об угле между прямыми, имеют в виду острый угол.

Ответ: $52^\circ$.