Номер 798, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

798. У треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны медианы $AM$ и $A_1M_1$, высоты $AH$ и $A_1H_1$, а также высоты $CF$ и $C_1F_1$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle AHM $ и $ \triangle A_1H_1M_1 $, образованные медианами $ AM $ и $ A_1M_1 $ и высотами $ AH $ и $ A_1H_1 $ соответственно. В этих треугольниках:

• $ \angle AHM = \angle A_1H_1M_1 = 90^\circ $ (так как $ AH $ и $ A_1H_1 $ — высоты).
• $ AM = A_1M_1 $ (гипотенузы равны по условию).
• $ AH = A_1H_1 $ (катеты равны по условию).

Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, $ \triangle AHM \cong \triangle A_1H_1M_1 $. Из равенства этих треугольников следует равенство вторых катетов: $ HM = H_1M_1 $.

Площадь треугольника $ \triangle ABC $ можно выразить двумя способами через его высоты: $ S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AH $ и $ S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CF $. Приравнивая эти выражения, получаем $ BC \cdot AH = AB \cdot CF $. Аналогично для треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ B_1C_1 \cdot A_1H_1 = A_1B_1 \cdot C_1F_1 $.

Так как по условию $ AH = A_1H_1 $ и $ CF = C_1F_1 $, то отношение сторон в обоих треугольниках одинаково: $ \frac{BC}{AB} = \frac{CF}{AH} $ и $ \frac{B_1C_1}{A_1B_1} = \frac{C_1F_1}{A_1H_1} $, откуда следует, что $ \frac{BC}{AB} = \frac{B_1C_1}{A_1B_1} $.

Теперь выразим длины сторон $ AB $ и $ AC $ через теорему Пифагора. Точки $ B, C, H, M $ лежат на одной прямой, причём $ M $ — середина отрезка $ BC $. Пусть $ BC = a $, $ AB = c $, $ AC = b $, $ AH = h_a $ и $ HM = d $. Тогда $ BM = MC = a/2 $. Длины отрезков $ HB $ и $ HC $ будут равны $ |d \pm a/2| $. Из прямоугольных треугольников $ \triangle AHB $ и $ \triangle AHC $ имеем (не теряя общности, предположим, что $ c \ge b $): $ c^2 = AB^2 = AH^2 + HB^2 = h_a^2 + (d + a/2)^2 $ $ b^2 = AC^2 = AH^2 + HC^2 = h_a^2 + (d - a/2)^2 $

Из неравенства треугольника для $ \triangle ABC $ следует, что $ a < b + c $. Так как $ c \ge b $, то $ b + c \le c + c = 2c $. Следовательно, $ a < 2c $, или $ \frac{a}{c} < 2 $.

Мы получили, что отношение $ \frac{BC}{AB} = \frac{CF}{AH} $ должно быть меньше 2. Это условие разрешает неоднозначность, которая могла бы возникнуть. Докажем, что стороны треугольника $ \triangle ABC $ однозначно определяются заданными элементами. Обозначим $ k = \frac{CF}{AH} = \frac{a}{c} $. Мы имеем систему уравнений:

1. $ a = kc $
2. $ c^2 = h_a^2 + (d + a/2)^2 $

Подставим $ c = a/k $ во второе уравнение: $ (a/k)^2 = h_a^2 + (d + a/2)^2 $ $ a^2/k^2 = h_a^2 + d^2 + ad + a^2/4 $ $ a^2(1/k^2 - 1/4) - a \cdot d - (h_a^2 + d^2) = 0 $

Это квадратное уравнение относительно стороны $ a = BC $. Поскольку мы доказали, что $ k < 2 $, то $ k^2 < 4 $ и $ 1/k^2 > 1/4 $. Значит, коэффициент при $ a^2 $, равный $ (1/k^2 - 1/4) $, положителен. Свободный член $ -(h_a^2 + d^2) $ отрицателен. Произведение корней этого квадратного уравнения равно $ \frac{-(h_a^2 + d^2)}{1/k^2 - 1/4} $, что является отрицательным числом. Это означает, что один корень уравнения положителен, а другой — отрицателен. Так как длина стороны $ a $ может быть только положительной, существует единственное решение для $ a $.

Таким образом, длина стороны $ BC $ однозначно определяется заданными в условии равными элементами. Так как для треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ эти элементы равны, то и стороны $ BC $ и $ B_1C_1 $ должны быть равны: $ BC = B_1C_1 $. Из соотношения $ \frac{BC}{AB} = k $ следует, что сторона $ AB $ также определяется однозначно, значит $ AB = A_1B_1 $. Из выражения $ AC^2 = h_a^2 + (d - a/2)^2 $ следует, что и сторона $ AC $ определяется однозначно, значит $ AC = A_1C_1 $. Поскольку три стороны треугольника $ \triangle ABC $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $ ($ BC = B_1C_1 $, $ AB = A_1B_1 $, $ AC = A_1C_1 $), то по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Ответ: Треугольники $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ равны, что и требовалось доказать.