Номер 780, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

780. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной около треугольника окружности на прямые, содержащие его стороны, лежат на одной прямой — прямой Симсона (рис. 248).

701 ----- ----- АГD -----

Рис. 248

Доказательство:

Пусть дан треугольник $ABC$ и точка $P$ на его описанной окружности. Пусть $L$, $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Нам необходимо доказать, что точки $L$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

1. Рассмотрим четырехугольник $PNAM$. По построению, $PN \perp AB$ и $PM \perp AC$. Следовательно, углы $\angle PNA$ и $\angle PMA$ являются прямыми. Сумма противоположных углов четырехугольника $\angle PNA + \angle PMA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что вокруг четырехугольника $PNAM$ можно описать окружность (он является вписанным). Диаметром этой окружности будет отрезок $PA$.

2. Аналогично рассмотрим четырехугольник $PLCM$. По построению, $PL \perp BC$ и $PM \perp AC$, значит $\angle PLC = 90^\circ$ и $\angle PMC = 90^\circ$. Так как углы $\angle PLC$ и $\angle PMC$ прямые, они опираются на отрезок $PC$ как на диаметр. Следовательно, точки $P, L, C, M$ лежат на одной окружности с диаметром $PC$, и четырехугольник $PLCM$ является вписанным.

3. Поскольку четырехугольник $PNAM$ вписанный, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $NA$, равны. Отсюда следует, что $\angle NMA = \angle NPA$.

4. Поскольку четырехугольник $PLCM$ вписанный, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $LC$, равны. Отсюда следует, что $\angle LMC = \angle LPC$.

5. Точки $A, B, C$ и $P$ по условию лежат на одной окружности (описанной около $\triangle ABC$). Следовательно, четырехугольник $ABCP$ — вписанный. Свойство вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle PAB + \angle PCB = 180^\circ$. Угол $\angle PCL$ является смежным с углом $\angle PCB$ (поскольку точка $L$ лежит на прямой $BC$), поэтому $\angle PCL + \angle PCB = 180^\circ$. Из этих двух равенств следует, что $\angle PAB = \angle PCL$.

6. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle PNA$ и $\triangle PLC$.
Из $\triangle PNA$ имеем: $\angle NPA = 90^\circ - \angle PAN = 90^\circ - \angle PAB$.
Из $\triangle PLC$ имеем: $\angle LPC = 90^\circ - \angle PCL$.
Так как мы доказали, что $\angle PAB = \angle PCL$, то отсюда следует, что $\angle NPA = \angle LPC$.

7. Объединим полученные результаты. Мы установили, что:
$\angle NMA = \angle NPA$ (из пункта 3)
$\angle NPA = \angle LPC$ (из пункта 6)
$\angle LPC = \angle LMC$ (из пункта 4)

Из этой цепочки равенств следует, что $\angle NMA = \angle LMC$.

Точки $A, M, C$ лежат на одной прямой. Углы $\angle NMA$ и $\angle LMC$ равны, имеют общую вершину $M$, и их стороны $MA$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$. Это возможно только в том случае, если лучи $MN$ и $ML$ также лежат на одной прямой. Следовательно, точки $N, M, L$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.