Номер 774, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

774. Две стороны треугольника равны $3\sqrt{3}$ см и 7 см, а угол против большей из них — $150^\circ$. Найдите третью сторону и два других угла.

Пусть в треугольнике даны стороны $a$ и $b$, где $a = 3\sqrt{3}$ см и $b = 7$ см. Сначала определим, какая из этих сторон большая, сравнив их квадраты:
$(3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$
$7^2 = 49$
Поскольку $49 > 27$, то сторона $b=7$ см является большей. По условию, угол, противолежащий ей, равен $150^\circ$. Обозначим этот угол как $\beta$. Итак, нам дано:
$a = 3\sqrt{3}$ см
$b = 7$ см
$\beta = 150^\circ$
Требуется найти третью сторону $c$ и два других угла $\alpha$ и $\gamma$.

Нахождение третьей стороны
Для нахождения стороны $c$ применим теорему косинусов для стороны $b$:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta$
Подставив известные значения, получим уравнение относительно $c$:
$7^2 = (3\sqrt{3})^2 + c^2 - 2 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot c \cdot \cos(150^\circ)$
Зная, что $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, преобразуем уравнение:
$49 = 27 + c^2 - 6\sqrt{3}c \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$49 = 27 + c^2 + \frac{18}{2}c$
$49 = 27 + c^2 + 9c$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$c^2 + 9c - 22 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2$
$c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-9 \pm 13}{2}$
Получаем два корня: $c_1 = \frac{-9 + 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$ и $c_2 = \frac{-9 - 13}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
Поскольку длина стороны треугольника должна быть положительным числом, то третья сторона равна $c = 2$ см.

Нахождение двух других углов
Теперь, зная все три стороны ($a=3\sqrt{3}$, $b=7$, $c=2$) и один угол ($\beta=150^\circ$), мы можем найти оставшиеся углы с помощью теоремы синусов:
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$
Найдем угол $\gamma$, противолежащий наименьшей стороне $c=2$:
$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta} \Rightarrow \frac{2}{\sin\gamma} = \frac{7}{\sin 150^\circ}$
Зная, что $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получим:
$\frac{2}{\sin\gamma} = \frac{7}{1/2} = 14$
Отсюда $\sin\gamma = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
Поскольку в треугольнике уже есть тупой угол ($150^\circ$), угол $\gamma$ должен быть острым. Таким образом, $\gamma = \arcsin\left(\frac{1}{7}\right)$.
Третий угол $\alpha$ найдем из условия, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 150^\circ - \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) = 30^\circ - \arcsin\left(\frac{1}{7}\right)$.
Ответ: третья сторона равна 2 см, а два других угла равны $\arcsin\left(\frac{1}{7}\right)$ и $30^\circ - \arcsin\left(\frac{1}{7}\right)$.