Номер 769, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

769. Найдите угол между диагоналями прямоугольника с периметром 16 и площадью 12.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, а площадь — по формуле $S = a \cdot b$.

По условию задачи, периметр равен 16, а площадь — 12. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2(a+b) = 16 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $a+b = \frac{16}{2} = 8$. Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} a+b = 8 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 12 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.

$t_1 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 2 и 6.

Теперь найдем длину диагонали $d$ прямоугольника, используя теорему Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Они образуют четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников, у которого боковые стороны — это половины диагоналей ($\frac{d}{2} = \sqrt{10}$), а основание — одна из сторон прямоугольника (например, сторона $b=2$).

Пусть $\alpha$ — это угол между диагоналями, противолежащий стороне $b=2$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$b^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \cos(\alpha)$

$2^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot (\sqrt{10}) \cdot (\sqrt{10}) \cdot \cos(\alpha)$

$4 = 10 + 10 - 2 \cdot 10 \cdot \cos(\alpha)$

$4 = 20 - 20 \cos(\alpha)$

$20 \cos(\alpha) = 20 - 4$

$20 \cos(\alpha) = 16$

$\cos(\alpha) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

Таким образом, один из углов (острый) между диагоналями равен $\alpha = \arccos(\frac{4}{5})$. Другой (тупой) угол будет равен $180^\circ - \alpha$. Оба значения являются корректным ответом на вопрос.

Ответ: $\arccos(\frac{4}{5})$ или $180^\circ - \arccos(\frac{4}{5})$.