Номер 764, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

764. Точки $A, B, C, D$ выбраны на сторонах угла $Q$ так, что $QA = QB = a$, $QC = QD = c$, прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$ (рис. 244). Докажите, что $AC = BD$ и $KC = KD$.

Рис. 244

Докажите, что AC = BD

Рассмотрим треугольники $\triangle QAC$ и $\triangle QBD$.
По условию задачи нам даны следующие равенства:
1. $QA = QB = a$
2. $QC = QD = c$
Угол $\angle Q$ является общим для обоих треугольников ($\angle AQC = \angle BQD$).
Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle QAC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle QBD$.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle QAC \cong \triangle QBD$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AC$ в $\triangle QAC$ лежит напротив общего угла $\angle Q$, и сторона $BD$ в $\triangle QBD$ также лежит напротив общего угла $\angle Q$.
Значит, $AC = BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC = BD$ доказано.

Докажите, что KC = KD

Из доказанного в предыдущем пункте равенства треугольников $\triangle QAC \cong \triangle QBD$ следует также равенство их соответствующих углов.
В частности, равны углы, лежащие напротив равных сторон $QA$ и $QB$:
$\angle QCA = \angle QDB$.
Рассмотрим треугольник $\triangle KDC$.
Поскольку точка $K$ является точкой пересечения прямых $AC$ и $BD$, она лежит на отрезках $AC$ и $BD$.
Следовательно, угол $\angle KCD$ является тем же углом, что и $\angle QCA$, а угол $\angle KDC$ является тем же углом, что и $\angle QDB$.
Таким образом, в треугольнике $\triangle KDC$ углы при основании $CD$ равны: $\angle KCD = \angle KDC$.
Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Значит, $\triangle KDC$ — равнобедренный треугольник.
В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны.
Сторона $KD$ лежит напротив угла $\angle KCD$, а сторона $KC$ лежит напротив угла $\angle KDC$.
Следовательно, $KC = KD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $KC = KD$ доказано.