Номер 758, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

758. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найдите острые углы треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Для определенности предположим, что $a \ge b$.

Согласно условию задачи, радиус вписанной окружности равен полуразности его катетов:

$r = \frac{a-b}{2}$

С другой стороны, для любого прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Приравняем правые части этих двух выражений, так как левые части равны:

$\frac{a-b}{2} = \frac{a+b-c}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$a-b = a+b-c$

Теперь упростим полученное равенство, вычитая $a$ из обеих частей:

$-b = b-c$

Перенесем $c$ в левую часть, а $-b$ в правую:

$c = b+b$

$c = 2b$

Мы получили соотношение между гипотенузой и одним из катетов: гипотенуза в два раза длиннее катета $b$.

Пусть $\beta$ — это острый угол треугольника, противолежащий катету $b$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin\beta = \frac{b}{c}$

Подставим в эту формулу найденное соотношение $c = 2b$:

$\sin\beta = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$

Острый угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\beta = 30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол, который обозначим $\alpha$:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

$\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Следовательно, острые углы треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.