Номер 752, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

752. Медиана $AD$ треугольника $ABC$ образует прямой угол со стороной $BC$. Точка $F$ на прямой $AC$ выбрана так, что угол $\angle AFB$ вдвое больше угла $\angle ACB$. Учитывая, что $FB = 6$ см, найдите длину отрезка $AC$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $AD$ — медиана, то есть она делит сторону $BC$ пополам: $BD = DC$.

2. Также по условию, медиана $AD$ образует прямой угол со стороной $BC$, что означает, что $AD$ является высотой треугольника $ABC$. Следовательно, $AD \perp BC$.

3. В треугольнике, где медиана к стороне одновременно является и высотой, этот треугольник является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, и его боковые стороны равны: $AB = AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании также равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

4. Обозначим угол $\angle ACB$ через $\gamma$. Тогда $\angle ABC = \gamma$. По условию задачи, $\angle AFB = 2 \cdot \angle ACB$, следовательно, $\angle AFB = 2\gamma$.

5. Рассмотрим сумму углов в треугольнике $ABC$: $\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$ $\angle CAB + \gamma + \gamma = 180^\circ$ $\angle CAB = 180^\circ - 2\gamma$

6. Теперь рассмотрим треугольник $AFB$. Угол $\angle FAB$ совпадает с углом $\angle CAB$, поэтому $\angle FAB = 180^\circ - 2\gamma$. Применим к треугольнику $AFB$ теорему синусов: $\frac{AB}{\sin(\angle AFB)} = \frac{FB}{\sin(\angle FAB)}$

7. Подставим известные нам значения и выражения для углов: $\frac{AB}{\sin(2\gamma)} = \frac{6}{\sin(180^\circ - 2\gamma)}$

8. Используем тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. Тогда $\sin(180^\circ - 2\gamma) = \sin(2\gamma)$. Наше уравнение принимает вид: $\frac{AB}{\sin(2\gamma)} = \frac{6}{\sin(2\gamma)}$

9. Из этого уравнения следует, что $AB = 6$ см (поскольку в треугольнике угол $2\gamma$ не может быть равен $180^\circ$, то $\sin(2\gamma) \neq 0$).

10. Так как из пункта 3 мы знаем, что $AC = AB$, то $AC = 6$ см.

Ответ: 6 см.