Номер 757, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

757. Прямая $l$ касается окружности с диаметром $AB$ в точке $C$. Расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $l$ равны $a$ и $b$ соответственно (рис. 243). Найдите расстояния от точки $C$ до точек $A$ и $B$.

Рис. 243

Обозначим через $A'$ и $B'$ проекции точек $A$ и $B$ на прямую $l$. По условию задачи, расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $l$ равны $a$ и $b$ соответственно. Это означает, что длины перпендикуляров $AA'$ и $BB'$ равны:

$AA' = a$

$BB' = b$

Поскольку отрезок $AB$ является диаметром окружности, а точка $C$ лежит на этой окружности, вписанный угол $\angle ACB$ опирается на диаметр. Следовательно, этот угол прямой, $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Согласно свойству угла между касательной и хордой, угол между касательной $l$ и хордой, проведенной через точку касания $C$, равен вписанному углу, который опирается на дугу, стягиваемую этой хордой.

Для хорды $AC$ угол между касательной и хордой — это $\angle A'CA$. Вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$, — это $\angle ABC$. Следовательно:

$\angle A'CA = \angle ABC$

Аналогично для хорды $BC$: угол между касательной и хордой — это $\angle B'CB$. Вписанный угол, опирающийся на дугу $BC$, — это $\angle BAC$. Следовательно:

$\angle B'CB = \angle BAC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA'C$ (где $\angle AA'C = 90^\circ$) и $\triangle BB'C$ (где $\angle BB'C = 90^\circ$).

Из $\triangle AA'C$ имеем: $\sin(\angle A'CA) = \frac{AA'}{AC} = \frac{a}{AC}$.

Из $\triangle BB'C$ имеем: $\sin(\angle B'CB) = \frac{BB'}{BC} = \frac{b}{BC}$.

Используя установленные ранее равенства углов, получаем:

$\sin(\angle ABC) = \frac{a}{AC}$

$\sin(\angle BAC) = \frac{b}{BC}$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle ABC$. В нем по определению синуса:

$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$

$\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB}$

Приравнивая два выражения для синуса каждого из углов, получаем систему из двух уравнений:

$\frac{AC}{AB} = \frac{a}{AC} \implies AC^2 = a \cdot AB$

$\frac{BC}{AB} = \frac{b}{BC} \implies BC^2 = b \cdot AB$

Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Подставим в это уравнение выражения для $AC^2$ и $BC^2$:

$a \cdot AB + b \cdot AB = AB^2$

$(a + b) \cdot AB = AB^2$

Так как $AB$ — это диаметр, его длина не равна нулю ($AB \ne 0$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $AB$:

$AB = a + b$

Теперь, зная длину диаметра $AB$, мы можем найти искомые расстояния $AC$ и $BC$, подставив значение $AB$ в выражения для $AC^2$ и $BC^2$:

$AC^2 = a \cdot (a+b) \implies AC = \sqrt{a(a+b)}$

$BC^2 = b \cdot (a+b) \implies BC = \sqrt{b(a+b)}$

Ответ: Расстояние от точки C до точки A равно $\sqrt{a(a+b)}$, а расстояние от точки C до точки B равно $\sqrt{b(a+b)}$.