Номер 760, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

760. Найдите стороны прямоугольного треугольника, в котором биссектриса острого угла разделяет противоположный катет на отрезки длинами $m$ и $n$ $(m > n)$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Обозначим его стороны: катеты $AC = b$, $BC = a$ и гипотенузу $AB = c$.

Рассмотрим биссектрису одного из острых углов, например, угла $A$. Пусть эта биссектриса $AL$ пересекает противоположный катет $BC$ в точке $L$. По условию, биссектриса делит катет $BC$ на отрезки длиной $m$ и $n$, причем $m > n$. Таким образом, длина катета $a$ равна сумме длин этих отрезков: $a = BC = m+n$.

Применим свойство биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Для биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ имеем:

$\frac{AB}{AC} = \frac{LB}{CL}$

В наших обозначениях это соотношение выглядит так:

$\frac{c}{b} = \frac{LB}{CL}$

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов, то есть $c > b$. Следовательно, отношение $\frac{c}{b} > 1$. Поскольку по условию $m > n$, то $\frac{m}{n} > 1$, в то время как $\frac{n}{m} < 1$. Это означает, что отношение $\frac{c}{b}$ должно быть равно $\frac{m}{n}$. Из этого следует, что $LB = m$ и $CL = n$. То есть, отрезок, прилежащий к вершине $B$, имеет длину $m$, а отрезок, прилежащий к прямому углу $C$, имеет длину $n$.

Итак, мы установили следующие факты:

1. Длина одного катета: $a = BC = LB + CL = m + n$.
2. Отношение гипотенузы к другому катету: $\frac{c}{b} = \frac{m}{n}$, откуда $c = b \cdot \frac{m}{n}$.

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$ ($a^2 + b^2 = c^2$) и подставим в нее известные нам выражения для $a$ и $c$:

$(m + n)^2 + b^2 = \left(b \cdot \frac{m}{n}\right)^2$

$(m + n)^2 + b^2 = b^2 \frac{m^2}{n^2}$

Решим это уравнение относительно $b$, чтобы найти длину второго катета:

$(m + n)^2 = b^2 \frac{m^2}{n^2} - b^2$

$(m + n)^2 = b^2 \left(\frac{m^2}{n^2} - 1\right)$

$(m + n)^2 = b^2 \left(\frac{m^2 - n^2}{n^2}\right)$

Используя формулу разности квадратов $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$, получаем:

$(m + n)^2 = b^2 \frac{(m - n)(m + n)}{n^2}$

Так как $m > n > 0$, то $m+n \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $(m+n)$:

$m + n = b^2 \frac{m - n}{n^2}$

Выразим $b^2$:

$b^2 = \frac{n^2(m + n)}{m - n}$

Поскольку длина стороны должна быть положительной, извлекаем квадратный корень:

$b = \sqrt{\frac{n^2(m + n)}{m - n}} = n\sqrt{\frac{m + n}{m - n}}$

Это длина второго катета.

Теперь найдем гипотенузу $c$, используя соотношение $c = b \cdot \frac{m}{n}$:

$c = \left(n\sqrt{\frac{m + n}{m - n}}\right) \cdot \frac{m}{n} = m\sqrt{\frac{m + n}{m - n}}$

Если бы мы рассматривали биссектрису другого острого угла (угла $B$), то получили бы тот же набор длин сторон, только катеты $a$ и $b$ поменялись бы местами.

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны:

Ответ: Катеты равны $m+n$ и $n\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}$, гипотенуза равна $m\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}$.