Номер 756, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

756. Стороны $AB$ и $A_1B_1$, а также стороны $AC$ и $A_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны. Вместе с этим у них равны и углы $BAC$ и $B_1A_1C_1$. Биссектриса $CF$ и высота $BK$ пересекаются в точке $D$, а биссектриса $C_1F_1$ и высота $B_1K_1$ — в точке $D_1$ (рис. 242). Докажите, что треугольники $DBF$ и $D_1B_1F_1$ равны.

Рис. 242

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи нам дано, что $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует равенство всех соответствующих элементов, в частности, $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$.

Так как $CF$ и $C_1F_1$ – биссектрисы равных углов $\angle ACB$ и $\angle A_1C_1B_1$, то их половины также равны: $\angle ACF = \angle A_1C_1F_1$. Теперь рассмотрим треугольники $AFC$ и $A_1F_1C_1$. В них $AC = A_1C_1$ (по условию), $\angle FAC = \angle F_1A_1C_1$ (по условию), и $\angle ACF = \angle A_1C_1F_1$ (как доказано выше). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle AFC \cong \triangle A_1F_1C_1$. Из этого равенства следует, что $AF = A_1F_1$ и $\angle AFC = \angle A_1F_1C_1$.

Теперь докажем, что $\triangle DBF \cong \triangle D_1B_1F_1$, используя второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Для этого последовательно докажем равенство соответствующих элементов этих треугольников.

Сравнение сторон $BF$ и $B_1F_1$.
Поскольку $AB = A_1B_1$ по условию и $AF = A_1F_1$ из доказанного равенства треугольников $AFC$ и $A_1F_1C_1$, то $BF = AB - AF = A_1B_1 - A_1F_1 = B_1F_1$.

Сравнение углов $\angle DFB$ и $\angle D_1F_1B_1$.
Точки A, F, B лежат на одной прямой, поэтому $\angle BFC$ и $\angle AFC$ являются смежными, а их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle BFC = 180^\circ - \angle AFC$. Аналогично, $\angle B_1F_1C_1 = 180^\circ - \angle A_1F_1C_1$. Так как мы доказали, что $\angle AFC = \angle A_1F_1C_1$, то и смежные им углы равны: $\angle BFC = \angle B_1F_1C_1$. Поскольку точки C, D, F лежат на одной прямой (биссектриса $CF$), то $\angle DFB = \angle BFC$. Аналогично, точки $C_1, D_1, F_1$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle D_1F_1B_1 = \angle B_1F_1C_1$. Следовательно, $\angle DFB = \angle D_1F_1B_1$.

Сравнение углов $\angle FBD$ и $\angle F_1B_1D_1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (где $\angle AKB = 90^\circ$, так как $BK$ — высота). Сумма острых углов в нём равна $90^\circ$, поэтому $\angle ABK = 90^\circ - \angle BAK = 90^\circ - \angle BAC$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $A_1B_1K_1$ ($\angle A_1K_1B_1 = 90^\circ$) угол $\angle A_1B_1K_1 = 90^\circ - \angle B_1A_1K_1 = 90^\circ - \angle B_1A_1C_1$. Так как по условию $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$, то и $\angle ABK = \angle A_1B_1K_1$. Угол $\angle FBD$ — это и есть угол $\angle ABK$ (так как D лежит на BK, а F на AB). Аналогично, угол $\angle F_1B_1D_1$ — это угол $\angle A_1B_1K_1$. Таким образом, $\angle FBD = \angle F_1B_1D_1$.

Мы показали, что в треугольниках $DBF$ и $D_1B_1F_1$ сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны: $BF = B_1F_1$, $\angle DFB = \angle D_1F_1B_1$ и $\angle FBD = \angle F_1B_1D_1$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle DBF \cong \triangle D_1B_1F_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $DBF$ и $D_1B_1F_1$ доказано.