Номер 749, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

749. Докажите, что угол является внешним углом треугольника, если вершина угла совпадает с вершиной треугольника, одна сторона угла содержит сторону треугольника, другая находится вне треугольника, а:

а) величина угла равна сумме величин углов треугольника при двух других его вершинах;

б) биссектриса угла образует с биссектрисой угла треугольника прямой угол.

Пусть дан треугольник $ABC$. Рассмотрим угол со следующими свойствами: его вершина совпадает с вершиной $C$ треугольника, одна его сторона содержит сторону $BC$ треугольника, а другая его сторона, представленная лучом $CD$, находится вне треугольника. Обозначим этот угол как $\angle BCD$. Внутренний угол треугольника при вершине $C$ — это $\angle ACB$.

По определению, внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Таким образом, чтобы доказать, что $\angle BCD$ является внешним углом треугольника $ABC$, необходимо доказать, что он смежен с углом $\angle ACB$, то есть что их сумма равна $180^{\circ}$: $\angle BCD + \angle ACB = 180^{\circ}$.

а)

Согласно условию, величина угла $\angle BCD$ равна сумме величин углов треугольника при двух других его вершинах, $A$ и $B$:
$\angle BCD = \angle A + \angle B$.
Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^{\circ}$:
$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ}$.
Из этого равенства выразим сумму углов $\angle A$ и $\angle B$:
$\angle A + \angle B = 180^{\circ} - \angle ACB$.
Теперь мы можем подставить это выражение в исходное условие:
$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle ACB$.
Перенеся $\angle ACB$ в левую часть, получаем:
$\angle BCD + \angle ACB = 180^{\circ}$.
Так как сумма углов $\angle BCD$ и $\angle ACB$ равна $180^{\circ}$ и они имеют общую сторону $CB$, они являются смежными. Это означает, что их другие стороны, $CA$ и $CD$, лежат на одной прямой, причём луч $CD$ является продолжением отрезка $AC$. Следовательно, по определению, $\angle BCD$ является внешним углом треугольника $ABC$.
Ответ: Утверждение доказано.

б)

Согласно условию, биссектриса угла $\angle BCD$ образует с биссектрисой внутреннего угла $\angle ACB$ прямой угол.
Пусть $CM$ — биссектриса угла $\angle BCD$, а $CN$ — биссектриса угла $\angle ACB$.
Из определения биссектрисы следует:
$\angle BCM = \frac{1}{2} \angle BCD$
$\angle BCN = \frac{1}{2} \angle ACB$
По условию, угол между этими биссектрисами равен $90^{\circ}$, то есть $\angle NCM = 90^{\circ}$.
Так как луч $CD$ лежит вне треугольника, а луч $CN$ (биссектриса внутреннего угла) — внутри, то общий луч $CB$ лежит между лучами $CN$ и $CM$. Следовательно, угол $\angle NCM$ равен сумме углов $\angle BCN$ и $\angle BCM$:
$\angle NCM = \angle BCN + \angle BCM$.
Подставим известные величины в это равенство:
$90^{\circ} = \frac{1}{2} \angle ACB + \frac{1}{2} \angle BCD$.
$90^{\circ} = \frac{1}{2} (\angle ACB + \angle BCD)$.
Умножив обе части уравнения на 2, получим:
$180^{\circ} = \angle ACB + \angle BCD$.
Это равенство означает, что углы $\angle ACB$ и $\angle BCD$ являются смежными. Следовательно, луч $CD$ является продолжением стороны $AC$. По определению, $\angle BCD$ является внешним углом треугольника $ABC$.
Ответ: Утверждение доказано.