Номер 742, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

742. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении прямых $AC$ и $BD$ плоскости третьей, равен $54^\circ$, а другой — в $2 \frac{1}{3}$ раза больше его. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Пусть даны две прямые $AC$ и $BD$, пересеченные третьей прямой (секущей). Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние односторонние углы, образованные при этом пересечении.

По условию задачи, один из этих углов равен $54^\circ$. Примем, что $\angle 1 = 54^\circ$.

Второй угол, $\angle 2$, по условию в $2\frac{1}{3}$ раза больше первого. Найдем его градусную меру. Для этого сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь вычислим величину второго угла:

$\angle 2 = 54^\circ \cdot 2\frac{1}{3} = 54^\circ \cdot \frac{7}{3} = \frac{54^\circ \cdot 7}{3} = 18^\circ \cdot 7 = 126^\circ$

Для доказательства параллельности прямых $AC$ и $BD$ воспользуемся признаком параллельности прямых. Согласно этому признаку, если сумма внутренних односторонних углов при пересечении двух прямых секущей равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Найдем сумму углов $\angle 1$ и $\angle 2$:

$\angle 1 + \angle 2 = 54^\circ + 126^\circ = 180^\circ$

Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые $AC$ и $BD$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку сумма внутренних односторонних углов ($54^\circ + 126^\circ = 180^\circ$) равна $180^\circ$, прямые $AC$ и $BD$ параллельны согласно признаку параллельности прямых.