Номер 735, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

735. Найдите площадь поверхности правильного тетраэдра, учитывая, что радиусы описанной около него и вписанной в него сфер равны $R$ и $r$ соответственно.

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра. Его поверхность состоит из четырех равных равносторонних треугольников. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Тогда площадь всей поверхности тетраэдра $S$ равна:
$S = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

Для правильного тетраэдра центры вписанной и описанной сфер совпадают. Эта точка (центр тетраэдра) лежит на высоте $H$ и делит её в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус описанной сферы $R$ — это расстояние от центра до вершины, а радиус вписанной сферы $r$ — это расстояние от центра до центра грани.

Таким образом, для высоты $H$ тетраэдра выполняются соотношения:
$R = \frac{3}{4}H$
$r = \frac{1}{4}H$

Сложив эти два равенства, мы можем выразить высоту тетраэдра через радиусы:
$H = R + r$.

Высота правильного тетраэдра также связана с длиной его ребра $a$ формулой:
$H = a\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Приравнивая два выражения для высоты, получаем:
$a\sqrt{\frac{2}{3}} = R+r$.

Отсюда выразим сторону ребра $a$:
$a = (R+r)\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Теперь подставим найденное выражение для $a$ в формулу площади поверхности тетраэдра:
$S = a^2\sqrt{3} = \left((R+r)\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 \sqrt{3} = (R+r)^2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(R+r)^2$.

Ответ: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(R+r)^2$.