Номер 732, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

732. Центр сферы является центром правильного тетраэдра с ребром 12 см. Найдите площадь части сферы, которая находится внутри тетраэдра, учитывая, что ее радиус равен 3 см.

Для нахождения площади части сферы, расположенной внутри правильного тетраэдра, мы сначала определим взаимное расположение сферы и тетраэдра. Затем мы вычислим площадь частей сферы, которые выходят за пределы тетраэдра, и вычтем эту площадь из общей площади поверхности сферы.

1. Найдем расстояние от центра правильного тетраэдра до его грани. Это расстояние равно радиусу вписанной в тетраэдр сферы ($r_t$). Для правильного тетраэдра с ребром $a$ формула для радиуса вписанной сферы имеет вид:

$r_t = \frac{a\sqrt{6}}{12}$

В нашем случае ребро тетраэдра $a = 12$ см. Подставим это значение в формулу:

$r_t = \frac{12\sqrt{6}}{12} = \sqrt{6}$ см.

2. Сравним найденное расстояние $r_t$ с радиусом данной сферы $R_s = 3$ см. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$ см, то $r_t < R_s$. Это означает, что сфера пересекает каждую из четырех граней тетраэдра, и часть сферы находится за пределами каждой грани. Расстояние от центра сферы до плоскости каждой грани равно $d = r_t = \sqrt{6}$ см.

3. Часть сферы, отсекаемая каждой гранью тетраэдра (то есть находящаяся вне тетраэдра), представляет собой сферический сегмент. Высота $h$ каждого такого сегмента равна разности между радиусом сферы и расстоянием от центра до секущей плоскости:

$h = R_s - d = 3 - \sqrt{6}$ см.

4. Площадь поверхности одного сферического сегмента вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R_s h$. Подставим известные значения:

$S_{сегм} = 2\pi \cdot 3 \cdot (3 - \sqrt{6}) = 6\pi(3 - \sqrt{6})$ см².

5. Поскольку у тетраэдра 4 грани, общая площадь частей сферы, находящихся вне тетраэдра, равна сумме площадей четырех одинаковых сферических сегментов:

$S_{вне} = 4 \cdot S_{сегм} = 4 \cdot 6\pi(3 - \sqrt{6}) = 24\pi(3 - \sqrt{6}) = 72\pi - 24\pi\sqrt{6}$ см².

6. Полная площадь поверхности сферы с радиусом $R_s = 3$ см вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R_s^2$:

$S_{сферы} = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi$ см².

7. Искомая площадь части сферы, которая находится внутри тетраэдра, равна разности между полной площадью сферы и суммарной площадью четырех сферических сегментов, находящихся вне тетраэдра:

$S_{внутри} = S_{сферы} - S_{вне} = 36\pi - (72\pi - 24\pi\sqrt{6})$

$S_{внутри} = 36\pi - 72\pi + 24\pi\sqrt{6} = 24\pi\sqrt{6} - 36\pi$ см².

Вынесем общий множитель $12\pi$ за скобки для упрощения выражения:

$S_{внутри} = 12\pi(2\sqrt{6} - 3)$ см².

Ответ: $12\pi(2\sqrt{6} - 3)$ см².