Номер 738, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

738. Найдите смежные углы, учитывая, что:

а) один из них на 46° больше другого;

б) один из них в три раза меньше другого;

в) один из них относится к другому как 5 : 13;

г) один из них составляет $2\frac{1}{3}$ другого;

д) один из них на 20 % меньше другого;

е) один из них составляет 80 % другого (рис. 234);

ж) $\frac{5}{12}$ одного из них равны 30°;

з) $\frac{3}{8}$ одного из них равны 25 % другого.

Рис. 234

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Обозначим искомые углы как $\alpha$ и $\beta$. Тогда для всех пунктов задачи справедливо равенство $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а) Пусть один угол равен $x$, тогда второй угол равен $x + 46^\circ$. Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $180^\circ$:
$x + (x + 46^\circ) = 180^\circ$
$2x + 46^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 46^\circ$
$2x = 134^\circ$
$x = 67^\circ$
Один угол равен $67^\circ$, второй угол равен $67^\circ + 46^\circ = 113^\circ$.
Ответ: $67^\circ$ и $113^\circ$.

б) Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол в три раза больше, то есть $3x$. Составим уравнение:
$x + 3x = 180^\circ$
$4x = 180^\circ$
$x = 45^\circ$
Меньший угол равен $45^\circ$, больший угол равен $3 \times 45^\circ = 135^\circ$.
Ответ: $45^\circ$ и $135^\circ$.

в) Пусть углы относятся как $5 : 13$. Обозначим одну часть за $x$. Тогда один угол равен $5x$, а второй $13x$. Составим уравнение:
$5x + 13x = 180^\circ$
$18x = 180^\circ$
$x = 10^\circ$
Один угол равен $5 \times 10^\circ = 50^\circ$, второй угол равен $13 \times 10^\circ = 130^\circ$.
Ответ: $50^\circ$ и $130^\circ$.

г) Пусть один угол равен $x$, тогда второй составляет $2\frac{1}{3}$ от него, то есть $2\frac{1}{3}x = \frac{7}{3}x$. Составим уравнение:
$x + \frac{7}{3}x = 180^\circ$
$\frac{3}{3}x + \frac{7}{3}x = 180^\circ$
$\frac{10}{3}x = 180^\circ$
$x = 180^\circ \cdot \frac{3}{10} = 54^\circ$
Один угол равен $54^\circ$, второй угол равен $\frac{7}{3} \times 54^\circ = 7 \times 18^\circ = 126^\circ$.
Ответ: $54^\circ$ и $126^\circ$.

д) Пусть больший угол равен $x$. Тогда меньший угол на $20\%$ меньше, то есть составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от большего. Меньший угол равен $0.8x$. Составим уравнение:
$x + 0.8x = 180^\circ$
$1.8x = 180^\circ$
$x = 100^\circ$
Больший угол равен $100^\circ$, меньший угол равен $0.8 \times 100^\circ = 80^\circ$.
Ответ: $80^\circ$ и $100^\circ$.

е) Пусть один угол равен $x$, тогда второй составляет $80\%$ от него, то есть $0.8x$. Составим уравнение:
$x + 0.8x = 180^\circ$
$1.8x = 180^\circ$
$x = 100^\circ$
Один угол равен $100^\circ$, второй угол равен $0.8 \times 100^\circ = 80^\circ$.
Ответ: $80^\circ$ и $100^\circ$.

ж) Пусть один из углов равен $x$. По условию, $\frac{5}{12}$ этого угла равны $30^\circ$.
$\frac{5}{12}x = 30^\circ$
$x = 30^\circ \cdot \frac{12}{5} = 6^\circ \cdot 12 = 72^\circ$
Один угол равен $72^\circ$. Второй смежный с ним угол равен $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
Ответ: $72^\circ$ и $108^\circ$.

з) Пусть один угол равен $\alpha$, а второй $\beta$. По условию, $\frac{3}{8}$ одного из них равны $25\%$ другого. Переведем проценты в дробь: $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
$\frac{3}{8}\alpha = \frac{1}{4}\beta$
Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от дробей: $3\alpha = 2\beta$, откуда $\alpha = \frac{2}{3}\beta$.
Подставим это соотношение в уравнение суммы смежных углов $\alpha + \beta = 180^\circ$:
$\frac{2}{3}\beta + \beta = 180^\circ$
$\frac{5}{3}\beta = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ \cdot \frac{3}{5} = 36^\circ \cdot 3 = 108^\circ$
Тогда $\alpha = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.
Ответ: $72^\circ$ и $108^\circ$.