Номер 734, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Пусть радиус шара равен $R$. Тогда объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Если куб описан около шара, это означает, что шар вписан в куб и касается всех его шести граней. В этом случае длина ребра куба $a$ равна диаметру шара, то есть $a = 2R$.

Объем куба с ребром $a$ равен:

$V_{куба} = a^3 = (2R)^3 = 8R^3$

Теперь найдем отношение объема шара к объему описанного около него куба:

$\frac{V_{шара}}{V_{куба}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \frac{4\pi}{3 \cdot 8} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

Пусть радиус шара равен $R$. Объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Если правильный октаэдр описан около шара, то шар является вписанным в октаэдр. Его радиус $R$ — это радиус вписанной сферы, который равен расстоянию от центра октаэдра до любой из его граней.

Существует связь между длиной ребра правильного октаэдра $a$ и радиусом вписанной в него сферы $R$:

$R = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Отсюда выразим длину ребра через радиус: $a = R\sqrt{6}$.

Объем правильного октаэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V_{октаэдра} = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

Подставим в эту формулу выражение для $a$ через $R$:

$V_{октаэдра} = \frac{\sqrt{2}}{3}(R\sqrt{6})^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} R^3 \cdot (\sqrt{6})^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} R^3 \cdot 6\sqrt{6} = 2\sqrt{2}\sqrt{6} R^3 = 2\sqrt{12} R^3 = 4\sqrt{3}R^3$

Найдем искомое отношение объемов:

$\frac{V_{шара}}{V_{октаэдра}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{4\sqrt{3}R^3} = \frac{4\pi}{3 \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{9}$

Пусть радиус шара равен $R$. Объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Если правильный тетраэдр описан около шара, то шар является вписанным в тетраэдр. Его радиус $R$ — это радиус вписанной сферы.

Радиус $R$ вписанной в правильный тетраэдр сферы связан с длиной его ребра $a$ формулой:

$R = \frac{a\sqrt{6}}{12}$

Выразим отсюда длину ребра $a$ через радиус $R$:

$a = \frac{12R}{\sqrt{6}} = \frac{12R\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}R$

Объем правильного тетраэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V_{тетраэдра} = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

Подставим в эту формулу выражение для $a$ через $R$:

$V_{тетраэдра} = \frac{\sqrt{2}}{12}(2\sqrt{6}R)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} (8 \cdot (\sqrt{6})^3)R^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} (8 \cdot 6\sqrt{6})R^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 48\sqrt{6}R^3 = 4\sqrt{12}R^3 = 8\sqrt{3}R^3$

Найдем отношение объемов:

$\frac{V_{шара}}{V_{тетраэдра}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8\sqrt{3}R^3} = \frac{4\pi}{3 \cdot 8\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\pi}{6\sqrt{3}} = \frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{18}$

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{18}$