Номер 737, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

737. В правильный додекаэдр вписан шар с радиусом $R$. На одной из граней взята точка $M$. Найдите сумму расстояний от этой точки до плоскостей всех граней додекаэдра.

Пусть $O$ — центр правильного додекаэдра и одновременно центр вписанного в него шара. По определению, радиус $R$ вписанного шара — это расстояние от центра $O$ до плоскости каждой из 12 граней додекаэдра.

Ключевым свойством правильного додекаэдра является то, что его 12 граней образуют 6 пар параллельных граней. Расстояние между плоскостями, содержащими любую пару параллельных граней, является постоянной величиной. Найдем это расстояние.

Рассмотрим любую пару параллельных граней. Центр додекаэдра $O$ равноудален от плоскостей этих граней. Расстояние от $O$ до каждой из этих плоскостей равно $R$. Поскольку центр находится между плоскостями, общее расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой из них, то есть $R + R = 2R$.

Пусть $P_1, P_2, \ldots, P_{12}$ — это плоскости, содержащие грани додекаэдра. Мы можем сгруппировать их в 6 пар параллельных плоскостей: $(P_1, P_2), (P_3, P_4), \ldots, (P_{11}, P_{12})$. Расстояние между плоскостями в каждой паре равно $2R$.

Согласно условию, точка $M$ взята на одной из граней. Без ограничения общности, предположим, что точка $M$ лежит на грани, которая находится в плоскости $P_1$.

Требуется найти сумму расстояний от точки $M$ до всех 12 плоскостей: $S = \sum_{i=1}^{12} d(M, P_i)$

Для удобства вычисления разобьем эту сумму по парам параллельных плоскостей: $S = [d(M, P_1) + d(M, P_2)] + [d(M, P_3) + d(M, P_4)] + \ldots + [d(M, P_{11}) + d(M, P_{12})]$

Рассмотрим первую пару $(P_1, P_2)$. Поскольку точка $M$ лежит в плоскости $P_1$, расстояние от $M$ до $P_1$ равно нулю: $d(M, P_1) = 0$. Расстояние от точки $M$, лежащей в плоскости $P_1$, до параллельной ей плоскости $P_2$ равно расстоянию между этими плоскостями, то есть $2R$. Таким образом, $d(M, P_2) = 2R$. Сумма расстояний для этой пары составляет $d(M, P_1) + d(M, P_2) = 0 + 2R = 2R$.

Теперь рассмотрим любую другую пару параллельных плоскостей, например, $(P_3, P_4)$. Точка $M$, лежащая на грани в плоскости $P_1$, находится внутри пространства, ограниченного плоскостями $P_3$ и $P_4$. Существует известное геометрическое свойство: для любой точки, расположенной между двумя параллельными плоскостями, сумма расстояний до этих плоскостей постоянна и равна расстоянию между ними.

Следовательно, для каждой из оставшихся 5 пар параллельных плоскостей $(P_{2k-1}, P_{2k})$, где $k \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$, сумма расстояний от точки $M$ до них равна $2R$:
$d(M, P_3) + d(M, P_4) = 2R$
$d(M, P_5) + d(M, P_6) = 2R$
...
$d(M, P_{11}) + d(M, P_{12}) = 2R$

Чтобы найти общую сумму $S$, сложим суммы для всех 6 пар: $S = \underbrace{(2R)}_{\text{пара 1}} + \underbrace{(2R)}_{\text{пара 2}} + \underbrace{(2R)}_{\text{пара 3}} + \underbrace{(2R)}_{\text{пара 4}} + \underbrace{(2R)}_{\text{пара 5}} + \underbrace{(2R)}_{\text{пара 6}} = 6 \times 2R = 12R$.

Таким образом, искомая сумма расстояний не зависит от конкретного положения точки $M$ на грани.

Ответ: $12R$.