Номер 743, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

743. Прямые $a$ и $b$ пересечены прямой $c$ (рис. 237). Докажите, что биссектрисы полученных внутренних односторонних углов пересекаются в точке, равноудаленной от прямых $a, b$ и $c$.

Рис. 237

Пусть прямые a и b пересечены прямой c. Рассмотрим пару полученных внутренних односторонних углов. Обозначим угол, образованный прямыми a и c, как $∠1$, а угол, образованный прямыми b и c, как $∠2$.

Проведем биссектрисы этих углов, которые по условию пересекаются в точке O.

Требуется доказать, что точка O равноудалена от прямых a, b и c. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Обозначим расстояния от точки O до прямых a, b и c как $d(O, a)$, $d(O, b)$ и $d(O, c)$ соответственно.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

1. Точка O лежит на биссектрисе угла $∠1$, который образован прямыми a и c (сторонами угла). Следовательно, точка O равноудалена от этих прямых, то есть $d(O, a) = d(O, c)$.

2. Аналогично, точка O лежит на биссектрисе угла $∠2$, который образован прямыми b и c. Следовательно, точка O равноудалена от этих прямых, то есть $d(O, b) = d(O, c)$.

Из полученных равенств $d(O, a) = d(O, c)$ и $d(O, b) = d(O, c)$ по свойству транзитивности следует, что $d(O, a) = d(O, b) = d(O, c)$.

Таким образом, точка пересечения биссектрис O равноудалена от прямых a, b и c, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка пересечения биссектрис полученных внутренних односторонних углов равноудалена от прямых a, b и c.