Номер 747, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

747. Точка $D$ на основании равнобедренного треугольника $ABC$ выбрана так, что $AD = AB$. Точка $M$ — середина отрезка $BD$ (рис. 238). Найдите угол $CBD$, учитывая, что угол $MAC$ равен $26^\circ$.

Рис. 238

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AB = BC$. По условию задачи, $AD = AB$. Следовательно, мы имеем равенство трех отрезков: $AD = AB = BC$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AD = AB$, он является равнобедренным с основанием $BD$. Точка $M$ — середина основания $BD$, значит, медиана $AM$ также является биссектрисой угла $BAD$ и высотой.

Пусть искомый угол $∠CBD = x$.

Так как $AM$ — биссектриса угла $BAD$, то $∠BAM = ∠DAM$. Обозначим $∠DAM = y$. Тогда $∠BAM = y$.

Из условия известно, что $∠MAC = 26°$. Тогда угол при основании равнобедренного треугольника $ABC$ равен: $∠BAC = ∠BAM + ∠MAC = y + 26°$.

Поскольку $ΔABC$ равнобедренный, $∠BCA = ∠BAC = y + 26°$.

Теперь рассмотрим углы в треугольнике $ABD$. Угол при вершине $A$ равен $∠BAD = ∠BAM + ∠DAM = y + y = 2y$. Так как $ΔABD$ равнобедренный, углы при основании $BD$ равны: $∠ABD = ∠ADB = (180° - 2y) / 2 = 90° - y$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $ABC$: $∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°$. Угол $∠ABC$ состоит из двух углов: $∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = (90° - y) + x$. Подставим все известные значения в уравнение суммы углов: $(y + 26°) + (y + 26°) + (90° - y + x) = 180°$. $2y + 52° + 90° - y + x = 180°$. $y + 142° + x = 180°$. $y + x = 38°$. (1)

Теперь рассмотрим сумму углов в треугольнике $BDC$. $∠DCB = ∠BCA = y + 26°$. $∠CDB$ является смежным с углом $∠ADB$, поэтому $∠CDB = 180° - ∠ADB = 180° - (90° - y) = 90° + y$. $∠CBD = x$. Сумма углов треугольника $BDC$: $∠DCB + ∠CDB + ∠CBD = 180°$. $(y + 26°) + (90° + y) + x = 180°$. $2y + 116° + x = 180°$. $2y + x = 64°$. (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} y + x = 38° \\ 2y + x = 64° \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго: $(2y + x) - (y + x) = 64° - 38°$. $y = 26°$.

Теперь подставим значение $y$ в первое уравнение: $26° + x = 38°$. $x = 38° - 26°$. $x = 12°$.

Таким образом, искомый угол $∠CBD$ равен $12°$.

Ответ: 12°.