Номер 754, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

754. Серединный перпендикуляр $MB$ к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересечен прямой $DF$ так, что отрезки $BD$ и $BF$ оказались равными (рис. 240). Докажите, что треугольник $MDF$ равнобедренный.

Рис. 240

Дано:

$ΔABC$

$MB$ — серединный перпендикуляр к стороне $AC$.

Прямая $DF$ пересекает $MB$, причем $D \in AB$, $F \in BC$.

$BD = BF$.

Доказать:

$ΔMDF$ — равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим $ΔABC$. Поскольку $MB$ является серединным перпендикуляром к стороне $AC$, любая точка на прямой $MB$ равноудалена от вершин $A$ и $C$. Точка $B$ лежит на этой прямой, следовательно, $AB = CB$.

2. Так как $AB = CB$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Поскольку $MB$ — серединный перпендикуляр, точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Следовательно, отрезок $BM$ является медианой треугольника $ABC$.

4. Так как $BM$ — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника $ABC$, то $BM$ также является биссектрисой угла $∠ABC$. Это означает, что $∠ABM = ∠CBM$.

5. Рассмотрим треугольники $ΔMDB$ и $ΔMFB$.

- $BD = BF$ (по условию).

- $MB$ — общая сторона.

- $∠DBM = ∠FBM$ (так как $BM$ — биссектриса угла $∠ABC$, а точки $D$ и $F$ лежат на сторонах этого угла $AB$ и $BC$ соответственно).

6. Таким образом, $ΔMDB = ΔMFB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $MD = MF$.

8. Поскольку в треугольнике $MDF$ две стороны равны ($MD = MF$), он является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник MDF является равнобедренным.