Номер 761, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

761. Найдите стороны прямоугольного треугольника, учитывая, что перпендикуляр, проведенный к гипотенузе из середины катета, равен 6 см, а середина гипотенузы отстоит от этого катета на 7,5 см.

1. Введение обозначений и анализ условия

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Обозначим его стороны: катеты $BC = a$ и $AC = b$, гипотенуза $AB = c$.

Введем точки согласно условию задачи:

- Пусть $M$ — середина катета $AC$. Тогда $AM = MC = b/2$.

- Из точки $M$ к гипотенузе $AB$ проведен перпендикуляр $MH$. По условию, его длина $MH = 6$ см.

- Пусть $N$ — середина гипотенузы $AB$.

- Расстояние от точки $N$ до катета $AC$ равно 7,5 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Проведем перпендикуляр $NK$ из точки $N$ на прямую $AC$. Тогда $NK = 7,5$ см.

2. Нахождение одного из катетов

Рассмотрим отрезок $NK$. По построению, $NK \perp AC$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, то $BC \perp AC$. Два отрезка, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу, следовательно, $NK \parallel BC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $NK$ выходит из середины стороны $AB$ (точка $N$) и параллелен стороне $BC$. По свойству средней линии треугольника, отрезок $NK$ является средней линией. Это означает, что точка $K$ является серединой стороны $AC$ (то есть $K$ и $M$ — одна и та же точка), а длина $NK$ равна половине длины стороны $BC$.

$NK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} a$

Используя данное из условия значение $NK = 7,5$ см, получаем:

$7,5 = \frac{1}{2} a$

Отсюда находим длину катета $a$:

$a = 2 \cdot 7,5 = 15$ см.

3. Использование подобия треугольников для нахождения связи между сторонами

Теперь воспользуемся первым условием. Рассмотрим треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle ABC$.

- $\angle A$ — общий для обоих треугольников.

- $\angle AHM = 90^\circ$ (по условию, $MH$ — перпендикуляр) и $\angle ACB = 90^\circ$ (по определению прямоугольного треугольника).

Так как два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle ABC$ подобны ($\triangle AMH \sim \triangle ABC$).

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{MH}{BC} = \frac{AM}{AB}$

Подставим известные нам значения и обозначения: $MH = 6$, $BC = a = 15$, $AM = b/2$, $AB = c$.

$\frac{6}{15} = \frac{b/2}{c}$

Упростим левую часть и преобразуем правую:

$\frac{2}{5} = \frac{b}{2c}$

Выразим катет $b$ через гипотенузу $c$:

$5b = 4c \implies b = \frac{4}{5}c$

4. Нахождение остальных сторон по теореме Пифагора

Для прямоугольного треугольника $ABC$ справедлива теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим в это уравнение найденные нами выражения для $a$ и $b$: $a = 15$ и $b = \frac{4}{5}c$.

$15^2 + (\frac{4}{5}c)^2 = c^2$

$225 + \frac{16}{25}c^2 = c^2$

Решим это уравнение относительно $c$:

$225 = c^2 - \frac{16}{25}c^2$

$225 = (1 - \frac{16}{25})c^2$

$225 = \frac{9}{25}c^2$

$c^2 = 225 \cdot \frac{25}{9} = 25 \cdot 25 = 625$

$c = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь, зная гипотенузу, найдем второй катет $b$:

$b = \frac{4}{5}c = \frac{4}{5} \cdot 25 = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см.

Ответ: стороны прямоугольного треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см.