Номер 759, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

759. Докажите, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в исходный треугольник и две полученные треугольные части.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов $AC = b$ и $BC = a$, а длину гипотенузы $AB = c$. Проведем высоту $CD$ из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. Длину этой высоты обозначим как $h$. Высота $CD$ делит исходный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$.

Пусть $r$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle ABC$, $r_1$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle ACD$, и $r_2$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle CBD$. Требуется доказать, что $h = r + r_1 + r_2$.

Доказательство

Для доказательства воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник. Если катеты треугольника равны $k_1$ и $k_2$, а гипотенуза равна $g$, то радиус вписанной окружности вычисляется как: $r = \frac{k_1 + k_2 - g}{2}$

Применим эту формулу последовательно к трем нашим треугольникам:

• Для $\triangle ABC$ (катеты $a, b$, гипотенуза $c$): $r = \frac{a + b - c}{2}$
• Для $\triangle ACD$ (катеты $AD, h$, гипотенуза $b$): $r_1 = \frac{AD + h - b}{2}$
• Для $\triangle CBD$ (катеты $BD, h$, гипотенуза $a$): $r_2 = \frac{BD + h - a}{2}$

Теперь найдем сумму этих радиусов: $r + r_1 + r_2 = \frac{a + b - c}{2} + \frac{AD + h - b}{2} + \frac{BD + h - a}{2}$

Сложим дроби, объединив их числители под общим знаменателем 2: $r + r_1 + r_2 = \frac{(a + b - c) + (AD + h - b) + (BD + h - a)}{2}$

Перегруппируем слагаемые в числителе для упрощения: $r + r_1 + r_2 = \frac{(a - a) + (b - b) - c + (AD + BD) + (h + h)}{2}$

Заметим, что сумма отрезков $AD$ и $BD$ равна длине гипотенузы $c$ исходного треугольника, так как точка $D$ лежит на гипотенузе: $AD + BD = c$. Подставим это значение в наше выражение: $r + r_1 + r_2 = \frac{0 + 0 - c + c + 2h}{2} = \frac{2h}{2}$

В результате получаем: $h = r + r_1 + r_2$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в исходный треугольник и два треугольника, на которые эта высота делит исходный.