Номер 753, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

753. Высота $AD$ треугольника $ABC$ разделила пополам сторону $BC$. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине $A$ параллельна стороне $BC$.

По условию, $AD$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Это означает, что $AD$ перпендикулярна $BC$, то есть $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$.

Также по условию, высота $AD$ делит сторону $BC$ пополам, то есть точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Следовательно, $BD = DC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$. У них:

• Катет $AD$ — общий.
• Катеты $BD$ и $DC$ равны по условию ($BD = DC$).

Следовательно, $\triangle ADB = \triangle ADC$ по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов. Значит, $AB = AC$ и $\angle B = \angle C$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Продолжим сторону $CA$ за вершину $A$ и получим луч $AE$. Угол $\angle EAB$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $A$.

По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle EAB = \angle B + \angle C$.

Поскольку мы установили, что $\angle B = \angle C$, то можно записать: $\angle EAB = \angle B + \angle B = 2\angle B$.

Пусть $AM$ — биссектриса внешнего угла $\angle EAB$. По определению биссектрисы: $\angle MAB = \frac{1}{2} \angle EAB$.

Подставив в это равенство выражение для $\angle EAB$, получим: $\angle MAB = \frac{1}{2} (2\angle B) = \angle B$.

Теперь рассмотрим прямые $AM$ и $BC$ и секущую $AB$. Углы $\angle MAB$ и $\angle B$ (он же $\angle ABC$) являются накрест лежащими углами. Так как эти углы равны ($\angle MAB = \angle B$), то по признаку параллельности двух прямых, прямая $AM$ параллельна прямой $BC$.

Таким образом, доказано, что биссектриса внешнего угла при вершине $A$ параллельна стороне $BC$.

Ответ: Доказано.