Номер 755, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

755. Стороны $AB$ и $A_1B_1$, а также стороны $AC$ и $A_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны. Вместе с этим у них равны и углы $BAC$ и $B_1A_1C_1$. Биссектрисы $BM$ и $CF$ пересекаются в точке $D$, а биссектрисы $B_1M_1$ и $C_1F_1$ — в точке $D_1$ (рис. 241). Докажите, что треугольники $DBC$ и $D_1B_1C_1$ равны.

Рис. 241

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи нам дано, что:
- $AB = A_1B_1$ (сторона)
- $AC = A_1C_1$ (сторона)
- $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (угол между этими сторонами)

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

2. Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих элементов:
- $BC = B_1C_1$
- $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$
- $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$

3. Теперь рассмотрим треугольники $DBC$ и $D_1B_1C_1$.
По условию, $BM$ и $B_1M_1$ — биссектрисы углов $\angle ABC$ и $\angle A_1B_1C_1$ соответственно. Точка $D$ лежит на биссектрисе $BM$, а точка $D_1$ — на биссектрисе $B_1M_1$. Это означает, что:
$\angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC$
$\angle D_1B_1C_1 = \frac{1}{2} \angle A_1B_1C_1$
Так как $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$, то и половины этих углов равны: $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$.

4. Аналогично, по условию, $CF$ и $C_1F_1$ — биссектрисы углов $\angle ACB$ и $\angle A_1C_1B_1$ соответственно. Точка $D$ лежит на биссектрисе $CF$, а точка $D_1$ — на биссектрисе $C_1F_1$. Это означает, что:
$\angle DCB = \frac{1}{2} \angle ACB$
$\angle D_1C_1B_1 = \frac{1}{2} \angle A_1C_1B_1$
Так как $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$, то и половины этих углов равны: $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$.

5. Сравним треугольники $DBC$ и $D_1B_1C_1$. Мы установили, что:
- $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$ (из пункта 3)
- $BC = B_1C_1$ (из пункта 2)
- $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$ (из пункта 4)

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle DBC = \triangle D_1B_1C_1$.

Ответ: Равенство треугольников $DBC$ и $D_1B_1C_1$ доказано.