Номер 751, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

751. Полуокружность разделена на три дуги так, что соответствующие им хорды относятся как $1 : 2 : 1$ (рис. 239). Найдите величины этих дуг.

Рис. 239

Пусть радиус полуокружности равен $R$. Полуокружность разделена на три дуги. Так как хорды, стягивающие крайние дуги, равны (согласно отношению $1:2:1$), то и сами дуги равны. Обозначим угловую меру каждой из боковых дуг как $\alpha$, а угловую меру средней дуги как $\beta$.

Сумма всех дуг составляет полуокружность, угловая мера которой равна $180°$. Таким образом, мы имеем первое уравнение:

$2\alpha + \beta = 180°$

Длина хорды, стягивающей дугу с центральным углом $\theta$, вычисляется по формуле $c = 2R \sin(\frac{\theta}{2})$.

Пусть $c_1$ — длина хорды, стягивающей дугу $\alpha$, а $c_2$ — длина хорды, стягивающей дугу $\beta$. Тогда:

$c_1 = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$

$c_2 = 2R \sin(\frac{\beta}{2})$

По условию задачи, хорды относятся как $1:2:1$, что означает $c_2 = 2c_1$. Подставим в это соотношение выражения для длин хорд:

$2R \sin(\frac{\beta}{2}) = 2 \cdot \left(2R \sin(\frac{\alpha}{2})\right)$

Разделив обе части на $2R$, получим второе уравнение:

$\sin(\frac{\beta}{2}) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $\alpha$ и $\beta$. Выразим $\beta$ из первого уравнения: $\beta = 180° - 2\alpha$. Тогда $\frac{\beta}{2} = \frac{180° - 2\alpha}{2} = 90° - \alpha$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\sin(90° - \alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$

Используя формулу приведения $\sin(90° - \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$\cos(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Подставим её в наше уравнение:

$1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$

Сделаем замену $y = \sin(\frac{\alpha}{2})$. Уравнение примет вид квадратного:

$1 - 2y^2 = 2y$

$2y^2 + 2y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(2)(-1) = 4 + 8 = 12$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2(2)} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Поскольку $\alpha$ — это дуга, являющаяся частью полуокружности, её мера $0 < \alpha < 180°$, а значит $0 < \frac{\alpha}{2} < 90°$. В этом интервале синус положителен, поэтому мы выбираем корень со знаком «плюс»:

$y = \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Теперь мы можем найти величину угла $\alpha$. Из уравнения $\cos(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$ следует:

$\cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \sqrt{3}-1$

Итак, величина каждой из боковых дуг равна:

$\alpha = \arccos(\sqrt{3}-1)$

Теперь найдем величину средней дуги $\beta$:

$\beta = 180° - 2\alpha = 180° - 2\arccos(\sqrt{3}-1)$

Ответ: Величины дуг равны $\arccos(\sqrt{3}-1)$, $180° - 2\arccos(\sqrt{3}-1)$ и $\arccos(\sqrt{3}-1)$.