Номер 750, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

750. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, стороны которого образуют арифметическую прогрессию.

Пусть стороны прямоугольного треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $a-d$, $a$ и $a+d$, где $d>0$ - разность прогрессии. Наибольшая сторона в прямоугольном треугольнике - это гипотенуза. Следовательно, катеты равны $a-d$ и $a$, а гипотенуза равна $a+d$. Для существования треугольника необходимо, чтобы все его стороны имели положительную длину, то есть $a-d > 0$, откуда $a>d$.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2$

Раскроем скобки в уравнении:

$a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$

Упростим выражение, сократив одинаковые члены ($a^2$ и $d^2$) в обеих частях:

$a^2 - 2ad = 2ad$

Перенесем все члены с $ad$ в одну сторону:

$a^2 = 4ad$

Поскольку $a$ является длиной стороны, $a \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$a = 4d$

Теперь мы можем выразить длины всех сторон треугольника через $d$. Подставим $a = 4d$ в выражения для сторон:

Первый катет: $a-d = 4d - d = 3d$

Второй катет: $a = 4d$

Гипотенуза: $a+d = 4d + d = 5d$

Таким образом, стороны треугольника соотносятся как $3d:4d:5d$, или, сократив на $d$, как $3:4:5$. Такой треугольник известен как египетский треугольник.

Для нахождения острых углов треугольника воспользуемся тригонометрическими определениями. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — искомые острые углы.

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Найдем синусы наших углов:

$\sin \alpha = \frac{3d}{5d} = \frac{3}{5}$

$\sin \beta = \frac{4d}{5d} = \frac{4}{5}$

Из этих соотношений мы можем найти сами углы:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$

$\beta = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$

Приближенные значения этих углов в градусах равны:

$\alpha \approx 36.87^\circ \approx 37^\circ$

$\beta \approx 53.13^\circ \approx 53^\circ$

Ответ: острые углы прямоугольного треугольника равны $\arcsin(3/5)$ и $\arcsin(4/5)$, что приблизительно составляет $37^\circ$ и $53^\circ$.