Номер 748, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

748. Найдите углы треугольника с меньшим внешним углом, равным $80^\circ$, учитывая, что:

а) один из его углов на $30^\circ$ больше другого;

б) один из его углов в три раза больше другого;

в) два его угла относятся как $2 : 3$.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. Поскольку сумма внутреннего и внешнего угла постоянна, наименьшему внешнему углу соответствует наибольший внутренний угол.

Таким образом, наибольший внутренний угол треугольника равен:
$180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$. Если один из углов равен $100^\circ$, то сумма двух других углов составляет:
$180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь решим каждую из подзадач, зная, что один из углов равен $100^\circ$, а сумма двух других — $80^\circ$.

а) один из его углов на 30° больше другого;
Существует два возможных случая:

1. Разница в $30^\circ$ между двумя меньшими углами. Пусть один из них $x$, тогда второй $x + 30^\circ$. Их сумма равна $80^\circ$.
$x + (x + 30^\circ) = 80^\circ$
$2x + 30^\circ = 80^\circ$
$2x = 50^\circ$
$x = 25^\circ$
Второй угол равен $25^\circ + 30^\circ = 55^\circ$.
Углы треугольника: $25^\circ, 55^\circ, 100^\circ$.

2. Один из углов на $30^\circ$ меньше самого большого угла ($100^\circ$).
Тогда один из углов равен $100^\circ - 30^\circ = 70^\circ$.
Третий угол равен $80^\circ - 70^\circ = 10^\circ$.
Углы треугольника: $10^\circ, 70^\circ, 100^\circ$.
Ответ: $25^\circ, 55^\circ, 100^\circ$ или $10^\circ, 70^\circ, 100^\circ$.

б) один из его углов в три раза больше другого;
Так как наибольший угол равен $100^\circ$, и он не делится нацело на 3, то соотношение "в три раза больше" относится к двум другим углам, сумма которых $80^\circ$.

Пусть один угол равен $x$, тогда второй равен $3x$.
$x + 3x = 80^\circ$
$4x = 80^\circ$
$x = 20^\circ$
Второй угол равен $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$.
Углы треугольника: $20^\circ, 60^\circ, 100^\circ$.
Ответ: $20^\circ, 60^\circ, 100^\circ$.

в) два его угла относятся как 2 : 3.
Существует два возможных случая:

1. Два меньших угла относятся как $2:3$. Их сумма $80^\circ$.
Пусть углы равны $2x$ и $3x$.
$2x + 3x = 80^\circ$
$5x = 80^\circ$
$x = 16^\circ$
Тогда углы равны $2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$ и $3 \cdot 16^\circ = 48^\circ$.
Углы треугольника: $32^\circ, 48^\circ, 100^\circ$.

2. Один из меньших углов и наибольший угол ($100^\circ$) относятся как $2:3$. Поскольку $100^\circ$ - это наибольший угол, он должен соответствовать большей части пропорции.
Пусть неизвестный угол равен $y$. Тогда $y : 100^\circ = 2 : 3$.
$y = \frac{2}{3} \cdot 100^\circ = \frac{200}{3}^\circ$.
Тогда третий угол будет равен $80^\circ - \frac{200}{3}^\circ = \frac{240-200}{3}^\circ = \frac{40}{3}^\circ$.
Углы треугольника: $\frac{40}{3}^\circ, \frac{200}{3}^\circ, 100^\circ$.
Ответ: $32^\circ, 48^\circ, 100^\circ$ или $\frac{40}{3}^\circ, \frac{200}{3}^\circ, 100^\circ$.