Номер 746, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

746. Биссектриса $AD$ треугольника $ABC$ разделила пополам сторону $BC$. Найдите угол $BAD$, учитывая, что угол $C$ равен $36^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AD$ является биссектрисой угла $A$.

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.

По условию задачи, биссектриса $AD$ разделила сторону $BC$ пополам, это означает, что точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Следовательно, $AD$ является также и медианой треугольника $ABC$, и $BD = DC$.

Подставим равенство $BD = DC$ в пропорцию, полученную из свойства биссектрисы:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{BD} = 1$.

Из этого следует, что $AB = AC$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle B = \angle C$.

По условию дано, что $\angle C = 36^{\circ}$, значит, $\angle B = 36^{\circ}$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдем величину угла $A$:
$\angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$.

Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $A$, она делит этот угол пополам. Найдём искомый угол $BAD$:
$\angle BAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}$.

Ответ: $54^{\circ}$.