Номер 739, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

739. Найдите углы треугольника, учитывая, что один из них равен 54°, а другой:

а) на 22° больше третьего;

б) в шесть раз больше третьего;

в) относится к третьему как 5 : 6;

г) составляет $ \frac{3}{4} $ третьего;

д) составляет 75 % третьего;

е) составляет 350 % третьего.

Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

По условию, один из углов равен $54^{\circ}$. Пусть $\alpha = 54^{\circ}$.

Тогда сумма двух других углов ($\beta$ и $\gamma$) равна:

$\beta + \gamma = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ}$

Теперь найдем два других угла для каждого случая.

а) Один из оставшихся углов на $22^{\circ}$ больше другого.
Пусть $\beta = \gamma + 22^{\circ}$.
Подставим это в уравнение $\beta + \gamma = 126^{\circ}$:
$(\gamma + 22^{\circ}) + \gamma = 126^{\circ}$
$2\gamma + 22^{\circ} = 126^{\circ}$
$2\gamma = 126^{\circ} - 22^{\circ}$
$2\gamma = 104^{\circ}$
$\gamma = 52^{\circ}$
Тогда второй угол $\beta = 52^{\circ} + 22^{\circ} = 74^{\circ}$.
Углы треугольника равны $54^{\circ}$, $52^{\circ}$ и $74^{\circ}$.
Ответ: $54^{\circ}, 52^{\circ}, 74^{\circ}$.

б) Один из оставшихся углов в шесть раз больше другого.
Пусть $\beta = 6\gamma$.
Подставим это в уравнение $\beta + \gamma = 126^{\circ}$:
$6\gamma + \gamma = 126^{\circ}$
$7\gamma = 126^{\circ}$
$\gamma = \frac{126^{\circ}}{7} = 18^{\circ}$
Тогда второй угол $\beta = 6 \cdot 18^{\circ} = 108^{\circ}$.
Углы треугольника равны $54^{\circ}$, $18^{\circ}$ и $108^{\circ}$.
Ответ: $54^{\circ}, 18^{\circ}, 108^{\circ}$.

в) Оставшиеся два угла относятся как $5 : 6$.
Пусть углы равны $\beta = 5x$ и $\gamma = 6x$.
Их сумма равна $126^{\circ}$:
$5x + 6x = 126^{\circ}$
$11x = 126^{\circ}$
$x = \frac{126}{11}$
Найдем углы:
$\beta = 5x = 5 \cdot \frac{126}{11} = \frac{630}{11} = 57 \frac{3}{11}^{\circ}$
$\gamma = 6x = 6 \cdot \frac{126}{11} = \frac{756}{11} = 68 \frac{8}{11}^{\circ}$
Углы треугольника равны $54^{\circ}$, $57 \frac{3}{11}^{\circ}$ и $68 \frac{8}{11}^{\circ}$.
Ответ: $54^{\circ}, 57 \frac{3}{11}^{\circ}, 68 \frac{8}{11}^{\circ}$.

г) Один из оставшихся углов составляет $\frac{3}{4}$ другого.
Пусть $\beta = \frac{3}{4}\gamma$.
Подставим это в уравнение $\beta + \gamma = 126^{\circ}$:
$\frac{3}{4}\gamma + \gamma = 126^{\circ}$
$\frac{7}{4}\gamma = 126^{\circ}$
$\gamma = 126^{\circ} \cdot \frac{4}{7} = 18^{\circ} \cdot 4 = 72^{\circ}$
Тогда второй угол $\beta = \frac{3}{4} \cdot 72^{\circ} = 3 \cdot 18^{\circ} = 54^{\circ}$.
Углы треугольника равны $54^{\circ}$, $54^{\circ}$ и $72^{\circ}$.
Ответ: $54^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$.

д) Один из оставшихся углов составляет $75 \%$ другого.
$75\%$ — это то же самое, что и $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Это условие идентично предыдущему пункту.
Пусть $\beta = 0.75\gamma$.
Подставим это в уравнение $\beta + \gamma = 126^{\circ}$:
$0.75\gamma + \gamma = 126^{\circ}$
$1.75\gamma = 126^{\circ}$
$\gamma = \frac{126}{1.75} = \frac{126}{7/4} = 126 \cdot \frac{4}{7} = 72^{\circ}$
Тогда второй угол $\beta = 0.75 \cdot 72^{\circ} = 54^{\circ}$.
Углы треугольника равны $54^{\circ}$, $54^{\circ}$ и $72^{\circ}$.
Ответ: $54^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$.

е) Один из оставшихся углов составляет $350 \%$ другого.
$350\% = \frac{350}{100} = 3.5$.
Пусть $\beta = 3.5\gamma$.
Подставим это в уравнение $\beta + \gamma = 126^{\circ}$:
$3.5\gamma + \gamma = 126^{\circ}$
$4.5\gamma = 126^{\circ}$
$\gamma = \frac{126}{4.5} = \frac{126}{9/2} = 126 \cdot \frac{2}{9} = 14 \cdot 2 = 28^{\circ}$
Тогда второй угол $\beta = 3.5 \cdot 28^{\circ} = 98^{\circ}$.
Углы треугольника равны $54^{\circ}$, $28^{\circ}$ и $98^{\circ}$.
Ответ: $54^{\circ}, 28^{\circ}, 98^{\circ}$.