Номер 740, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

740. Тело на рисунке 235 — параллелепипед. Точки $M$, $N$ и $P$ — середины ребер. Определите взаимное расположение прямых:

а) $BN$ и $C_1M$;

б) $B_1D_1$ и $NP$;

в) $A_1N$ и $CM$;

г) $PM$ и $A_1N$.

Рис. 235

а) BN и C₁M
Прямая $BN$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$. Прямая $C_1M$ не лежит в этой плоскости и не параллельна ей, так как точка $M$ лежит на ребре $A_1D_1$, а точка $C_1$ является вершиной верхнего основания. Прямая $C_1M$ пересекает плоскость $(ABC)$ в точке, не принадлежащей прямой $BN$.
Согласно признаку скрещивающихся прямых, если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся прямые.

б) B₁D₁ и NP
Рассмотрим треугольник $\triangle DBC$. Точки $N$ и $P$ являются серединами сторон $DC$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $NP$ является средней линией треугольника $\triangle DBC$.
По свойству средней линии, $NP$ параллельна стороне $DB$ ($NP \parallel DB$).
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны и равны. Следовательно, их диагонали также параллельны: $DB \parallel D_1B_1$.
Так как $NP \parallel DB$ и $DB \parallel B_1D_1$, то по свойству транзитивности параллельных прямых, $NP \parallel B_1D_1$.
Ответ: параллельные прямые.

в) A₁N и CM
Рассмотрим плоскость $(AA_1D_1)$. Прямая $A_1D_1$ лежит в этой плоскости, и так как $M$ — середина $A_1D_1$, точка $M$ также принадлежит этой плоскости ($M \in (AA_1D_1)$).
Прямая $CM$ пересекает плоскость $(AA_1D_1)$ в точке $M$.
Прямая $A_1N$ также пересекает плоскость $(AA_1D_1)$, но в точке $A_1$.
Точка $M$ не лежит на прямой $A_1N$, так как точка $N$ не принадлежит плоскости $(AA_1D_1)$, а значит, прямая $A_1N$ не может целиком лежать в этой плоскости.
Прямые не параллельны и не пересекаются, следовательно, они скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся прямые.

г) PM и A₁N
Введем дополнительную точку $K$ — середину ребра $A_1B_1$.
Рассмотрим четырехугольник $MNPK$.
В $\triangle DBC$, $NP$ — средняя линия, следовательно, $NP \parallel DB$ и $NP = \frac{1}{2}DB$.
В $\triangle A_1B_1D_1$, $MK$ — средняя линия, следовательно, $MK \parallel D_1B_1$ и $MK = \frac{1}{2}D_1B_1$.
В параллелепипеде $DB \parallel D_1B_1$ и $DB = D_1B_1$.
Из этого следует, что $NP \parallel MK$ и $NP = MK$.
Таким образом, четырехугольник $MNPK$ является параллелограммом по признаку (две стороны параллельны и равны).
Из свойства параллелограмма следует, что $PM \parallel KN$.
Теперь определим взаимное расположение прямых $PM$ и $A_1N$, заменив $PM$ на параллельную ей прямую $KN$. Задача сводится к определению расположения прямых $KN$ и $A_1N$.
Прямые $KN$ и $A_1N$ имеют общую точку $N$, значит, они пересекаются в этой точке (они не совпадают, так как точки $A_1$, $K$, $N$ не лежат на одной прямой).
Так как прямая $PM$ параллельна прямой $KN$, которая пересекает прямую $A_1N$, а сама прямая $PM$ не лежит в плоскости $(A_1KN)$, то прямые $PM$ и $A_1N$ являются скрещивающимися.
Ответ: скрещивающиеся прямые.