Номер 736, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

736. В правильный октаэдр вписан шар с радиусом $R$. На одной из граней взята точка $M$. Найдите сумму расстояний от этой точки до всех граней октаэдра.

Рассмотрим правильный октаэдр. Это выпуклый многогранник, у которого все 8 граней являются равными между собой правильными треугольниками. Пусть $V$ — объём октаэдра, а $S_{грани}$ — площадь одной его грани.

Для любой точки $P$, расположенной внутри октаэдра, его объём можно представить как сумму объёмов восьми пирамид, у которых общая вершина — точка $P$, а основаниями служат грани октаэдра. Объём $i$-й такой пирамиды ($i$ от 1 до 8) вычисляется по формуле $V_i = \frac{1}{3} S_{грани} \cdot h_i$, где $h_i$ — это расстояние от точки $P$ до плоскости $i$-й грани (то есть высота пирамиды).

Суммируя объёмы всех восьми пирамид, получаем полный объём октаэдра:$V = \sum_{i=1}^{8} V_i = \sum_{i=1}^{8} \frac{1}{3} S_{грани} \cdot h_i = \frac{1}{3} S_{грани} \sum_{i=1}^{8} h_i$.

Из этого соотношения можно выразить искомую сумму расстояний от точки $P$ до всех граней, обозначив её через $S_{dist}$:$S_{dist} = \sum_{i=1}^{8} h_i = \frac{3V}{S_{грани}}$.

Эта формула показывает, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного октаэдра до его граней является постоянной величиной, так как объём $V$ и площадь грани $S_{грани}$ для данного октаэдра постоянны.

В условии задачи точка $M$ взята на одной из граней, то есть на границе октаэдра. Поскольку функция суммы расстояний непрерывна, её значение для точки на границе будет таким же, как и для любой точки внутри.

Чтобы найти эту постоянную сумму, мы можем выбрать любую, наиболее удобную для расчёта точку внутри октаэдра. Такой точкой является центр октаэдра $O$, который также является центром вписанного в него шара.

Расстояние от центра $O$ до любой грани по определению равно радиусу вписанного шара $R$. Таким образом, для центра октаэдра все $h_i$ равны $R$.

Следовательно, сумма расстояний от центра $O$ до всех восьми граней равна:$S_{dist} = \sum_{i=1}^{8} R = 8R$.

Так как эта сумма постоянна для любой точки внутри и на границе октаэдра, то и для точки $M$, взятой на одной из граней, искомая сумма расстояний также будет равна $8R$.

Ответ: $8R$.