Номер 731, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

731. Один шар вписан в правильный тетраэдр, другой касается трех граней тетраэдра и первого шара. Найдите отношение поверхностей этих шаров.

Пусть $S_1$ и $R$ — площадь поверхности и радиус первого шара, который вписан в правильный тетраэдр, а $S_2$ и $r$ — площадь поверхности и радиус второго шара. Нам необходимо найти отношение их поверхностей. Отношение площадей поверхностей двух шаров равно квадрату отношения их радиусов:

$$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 $$

Таким образом, задача сводится к нахождению отношения радиусов $\frac{R}{r}$.

Рассмотрим правильный тетраэдр. Пусть $H$ — его высота. Центр $O_1$ вписанного шара является центром тетраэдра и лежит на его высоте. Из свойств правильного тетраэдра известно, что центр вписанного шара делит высоту в отношении 1:3, считая от основания. Следовательно, радиус вписанного шара равен $R = \frac{1}{4}H$.

Пусть вершина тетраэдра, у которой второй шар касается трех граней, это вершина $D$. Центр второго шара, $O_2$, равноудален от этих трех граней, поэтому он должен лежать на высоте тетраэдра, проведенной из вершины $D$. Таким образом, центры обоих шаров $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой — высоте тетраэдра.

Поскольку шары касаются друг друга, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R+r$. Второй шар находится в "углу" тетраэдра при вершине $D$, поэтому его центр $O_2$ расположен между вершиной $D$ и центром первого шара $O_1$. Расстояние между центрами также можно выразить как разность расстояний от вершины $D$ до центров шаров: $O_1O_2 = DO_1 - DO_2$.

Расстояние от вершины $D$ до центра вписанного шара $O_1$ составляет $DO_1 = H - R = H - \frac{1}{4}H = \frac{3}{4}H$.

Теперь найдем расстояние $DO_2$. Пусть $\theta$ — это угол между высотой тетраэдра и апофемой (высотой боковой грани, проведенной из той же вершины). Расстояние от центра $O_2$ до любой из трех боковых граней равно радиусу $r$. Это расстояние связано с расстоянием $DO_2$ соотношением $r = DO_2 \cdot \sin\theta$. Для правильного тетраэдра $\sin\theta = \frac{1}{3}$. Таким образом, $r = DO_2 \cdot \frac{1}{3}$, откуда следует, что $DO_2 = 3r$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для расстояния между центрами:

$$ R+r = DO_1 - DO_2 $$

Подставим известные нам величины:

$$ \frac{1}{4}H + r = \frac{3}{4}H - 3r $$

Решим это уравнение относительно $r$:

$$ 4r = \frac{3}{4}H - \frac{1}{4}H $$

$$ 4r = \frac{2}{4}H = \frac{1}{2}H $$

$$ r = \frac{1}{8}H $$

Теперь мы можем найти отношение радиусов первого и второго шаров:

$$ \frac{R}{r} = \frac{\frac{1}{4}H}{\frac{1}{8}H} = \frac{8}{4} = 2 $$

Наконец, находим искомое отношение площадей поверхностей:

$$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = 2^2 = 4 $$

Отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности второго шара равно 4.

Ответ: 4.