Номер 724, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

724. $ACMDB$ — четверть окружности с радиусом $R$. Дуги $AC$ и $BD$ равны между собой, а дуга $CMD$ содержит $60^\circ$. Найдите поверхность и объем тела, полученного при вращении сегмента $CMD$ вокруг радиуса $OB$ (или $OA$).

Поместим четверть окружности в систему координат так, чтобы ее центр $O$ совпадал с началом координат, радиус $OA$ лежал на оси $Ox$, а радиус $OB$ — на оси $Oy$. Таким образом, дуга $AB$ составляет $90^\circ$.

По условию, дуга $CMD$ составляет $60^\circ$. Дуги $AC$ и $BD$ равны. Тогда градусная мера каждой из этих дуг равна:
$\angle AOC = \angle BOD = \frac{90^\circ - 60^\circ}{2} = 15^\circ$.

Таким образом, точка $C$ соответствует углу $15^\circ$ от оси $OA$, а точка $D$ — углу $15^\circ + 60^\circ = 75^\circ$ от оси $OA$.

Задача сводится к нахождению поверхности и объема тела, полученного вращением сегмента $CMD$ вокруг оси $Ox$ (радиус $OA$). Тело вращения, образованное сегментом, представляет собой тело, полученное вращением сектора $OCD$ за вычетом тела, полученного вращением треугольника $OCD$. Однако проще рассматривать тело как разность объемов и сумму поверхностей, образованных вращением дуги $CMD$ и хорды $CD$.

Координаты точек $C$ и $D$:
$C = (R \cos 15^\circ, R \sin 15^\circ)$
$D = (R \cos 75^\circ, R \sin 75^\circ)$

Для расчетов нам понадобятся значения тригонометрических функций:
$\cos 15^\circ = \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\sin 15^\circ = \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Поверхность тела вращения состоит из двух частей: поверхности, образованной вращением дуги $CMD$ (часть сферы, или сферический пояс), и поверхности, образованной вращением хорды $CD$ (боковая поверхность усеченного конуса).

1. Площадь поверхности сферического пояса ($S_{дуга}$) вычисляется по формуле $S = 2\pi R h$, где $h$ — высота пояса, равная разности абсцисс точек $C$ и $D$.
$h = x_C - x_D = R \cos 15^\circ - R \cos 75^\circ = R \left( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right) = R \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$.
$S_{дуга} = 2\pi R \left( \frac{R\sqrt{2}}{2} \right) = \pi R^2 \sqrt{2}$.

2. Площадь боковой поверхности усеченного конуса ($S_{хорда}$) вычисляется по формуле $S = \pi (r_1 + r_2) L$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований, а $L$ — длина образующей (длина хорды $CD$).
Радиусы оснований — это ординаты точек $C$ и $D$:
$r_1 = y_C = R \sin 15^\circ = R \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$r_2 = y_D = R \sin 75^\circ = R \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$r_1 + r_2 = R \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \right) = R \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{R\sqrt{6}}{2}$.
Длину хорды $L$ найдем из треугольника $OCD$. Так как $OC=OD=R$ и центральный угол $\angle COD = 60^\circ$, треугольник $OCD$ является равносторонним. Следовательно, $L = CD = R$.
$S_{хорда} = \pi \left( \frac{R\sqrt{6}}{2} \right) R = \frac{\pi R^2 \sqrt{6}}{2}$.

3. Полная поверхность тела $S$ равна сумме этих двух площадей:
$S = S_{дуга} + S_{хорда} = \pi R^2 \sqrt{2} + \frac{\pi R^2 \sqrt{6}}{2} = \frac{\pi R^2}{2} (2\sqrt{2} + \sqrt{6})$.

Ответ: $S = \frac{\pi R^2}{2} (2\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Объем тела вращения, образованного сегментом $CMD$, равен объему тела, образованного вращением криволинейной трапеции под дугой $CMD$ ($V_{дуга}$), минус объем тела, образованного вращением прямолинейной трапеции под хордой $CD$ ($V_{хорда}$, усеченный конус).

1. Объем $V_{дуга}$ (объем сферического пояса) вычисляется по формуле:
$V_{дуга} = \pi \int_{x_D}^{x_C} (R^2 - x^2) dx = \pi \left[R^2x - \frac{x^3}{3}\right]_{R\cos 75^\circ}^{R\cos 15^\circ}$
$V_{дуга} = \pi R^3 \left[ (\cos 15^\circ - \cos 75^\circ) - \frac{1}{3}(\cos^3 15^\circ - \cos^3 75^\circ) \right]$.
Мы уже нашли, что $\cos 15^\circ - \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычислим $\cos^3 15^\circ - \cos^3 75^\circ = (\cos 15^\circ - \cos 75^\circ)(\cos^2 15^\circ + \cos 15^\circ \cos 75^\circ + \cos^2 75^\circ)$.
$\cos^2 15^\circ + \cos^2 75^\circ = \cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ = 1$.
$\cos 15^\circ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{6-2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Тогда $\cos^3 15^\circ - \cos^3 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(1 + \frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$.
$V_{дуга} = \pi R^3 \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3} \frac{5\sqrt{2}}{8} \right] = \pi R^3 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{5\sqrt{2}}{24} \right) = \pi R^3 \left( \frac{12\sqrt{2} - 5\sqrt{2}}{24} \right) = \frac{7\pi R^3 \sqrt{2}}{24}$.

2. Объем усеченного конуса ($V_{хорда}$) вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$.
$h = \frac{R\sqrt{2}}{2}$, $r_1 = R\sin 15^\circ$, $r_2 = R\sin 75^\circ$.
$r_1^2 + r_2^2 = R^2(\sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ) = R^2(\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) = R^2$.
$r_1 r_2 = R^2 \sin 15^\circ \sin 75^\circ = R^2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{R^2}{2} \sin 30^\circ = \frac{R^2}{4}$.
$V_{хорда} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right) \left(R^2 + \frac{R^2}{4}\right) = \frac{\pi R \sqrt{2}}{6} \left(\frac{5R^2}{4}\right) = \frac{5\pi R^3 \sqrt{2}}{24}$.

3. Искомый объем $V$ равен разности объемов:
$V = V_{дуга} - V_{хорда} = \frac{7\pi R^3 \sqrt{2}}{24} - \frac{5\pi R^3 \sqrt{2}}{24} = \frac{2\pi R^3 \sqrt{2}}{24} = \frac{\pi R^3 \sqrt{2}}{12}$.

Ответ: $V = \frac{\pi R^3 \sqrt{2}}{12}$