Номер 721, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

721. Шар с радиусом 5 см и куб с ребром 8 см имеют общий центр. Найдите объем и площадь поверхности части куба, которая находится внутри шара.

Пусть общий центр шара и куба находится в начале координат. Тогда куб с ребром $a=8$ см ограничен плоскостями $x=\pm 4$, $y=\pm 4$, $z=\pm 4$. Шар с радиусом $R=5$ см описывается неравенством $x^2 + y^2 + z^2 \le 5^2=25$.

Определим взаимное расположение тел. Расстояние от центра до центра грани куба равно $a/2 = 4$ см. Так как $4 < 5$ (радиус шара), шар пересекает каждую грань куба. Расстояние от центра до вершины куба равно $\sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2+(a/2)^2} = \sqrt{4^2+4^2+4^2} = \sqrt{48}$ см. Так как $\sqrt{48} > 5$, вершины куба находятся вне шара. Это означает, что шар "срезает" углы куба, и искомая фигура является пересечением куба и шара.

Объем

Объем части куба, которая находится внутри шара, — это объем пересечения этих двух тел. Вычислить его можно, вычтя из объема шара объем тех его частей, которые лежат вне куба. Части шара вне куба представляют собой 6 одинаковых шаровых сегментов (по одному у каждой грани куба).

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{500\pi}{3}$ см³.

Высота каждого шарового сегмента, отсекаемого гранью куба, равна $h = R - a/2 = 5 - 4 = 1$ см. Объем одного шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сегмента} = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$: $V_{сегмента} = \frac{1}{3}\pi (1)^2 (3 \cdot 5 - 1) = \frac{14\pi}{3}$ см³.

Эти 6 сегментов не пересекаются между собой. Например, для пересечения сегментов, отсекаемых плоскостями $x>4$ и $y>4$, потребовалось бы существование точки, где $x>4$ и $y>4$, что привело бы к $x^2+y^2+z^2 > 4^2+4^2+0^2 = 32$, а это невозможно для точек внутри шара радиуса 5 ($x^2+y^2+z^2 \le 25$).

Суммарный объем шести сегментов: $V_{6 \text{ сегментов}} = 6 \cdot V_{сегмента} = 6 \cdot \frac{14\pi}{3} = 28\pi$ см³.

Искомый объем равен разности объемов шара и шести сегментов: $V = V_{шара} - V_{6 \text{ сегментов}} = \frac{500\pi}{3} - 28\pi = \frac{500\pi - 84\pi}{3} = \frac{416\pi}{3}$ см³.

Ответ: Объем равен $\frac{416\pi}{3}$ см³.

Площадь поверхности

Площадь поверхности искомой фигуры состоит из двух частей:
1. Площади частей шести граней куба, которые находятся внутри шара.
2. Площади части поверхности шара, которая находится внутри куба.

1. Рассмотрим грань куба, лежащую в плоскости $x=4$. Часть этой грани, находящаяся внутри шара, удовлетворяет условию $4^2 + y^2 + z^2 \le 25$, что эквивалентно $y^2 + z^2 \le 9$. Это круг радиусом $r=3$ см. Его площадь равна $S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см². Так как у куба 6 граней, общая площадь этих частей составит: $S_{куб.части} = 6 \cdot S_{круга} = 6 \cdot 9\pi = 54\pi$ см².

2. Часть поверхности шара, находящаяся внутри куба, — это вся поверхность шара за вычетом площадей шести шаровых сегментов (или "шапочек"), которые лежат вне куба. Площадь всей поверхности шара: $S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 5^2 = 100\pi$ см². Площадь поверхности одного шарового сегмента с высотой $h=1$ см: $S_{сегмента} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 5 \cdot 1 = 10\pi$ см². Суммарная площадь шести таких сегментов: $S_{6 \text{ сегментов}} = 6 \cdot S_{сегмента} = 6 \cdot 10\pi = 60\pi$ см². Площадь части поверхности шара внутри куба: $S_{шар.части} = S_{шара} - S_{6 \text{ сегментов}} = 100\pi - 60\pi = 40\pi$ см².

Общая площадь поверхности искомой фигуры равна сумме площадей этих двух частей: $S_{полная} = S_{куб.части} + S_{шар.части} = 54\pi + 40\pi = 94\pi$ см².

Ответ: Площадь поверхности равна $94\pi$ см².