Номер 722, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

722. В секторе $OACB$ с центром $O$ и дугой $ACB$ в $90^\circ$ проведена хорда $AB$ (рис. 230). Докажите, что если фигуру вращать вокруг одного из боковых радиусов, то треугольник $AOB$ и сегмент $ACB$ опишут равные объемы.

Рис. 230

Для доказательства утверждения найдем объемы тел, которые образуются при вращении треугольника $AOB$ и сегмента $ACB$ вокруг одного из боковых радиусов, например, вокруг радиуса $OA$.

Пусть радиус сектора $OA = OB = R$. По условию, дуга $ACB$ составляет $90^\circ$, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 90^\circ$.

1. Нахождение объема тела, образованного вращением треугольника AOB.

При вращении прямоугольного треугольника $AOB$ вокруг катета $OA$ образуется конус. Высота этого конуса $h$ равна длине радиуса $OA$, то есть $h = R$. Радиус основания конуса $r$ равен длине другого катета $OB$, то есть $r = R$.

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Подставим наши значения:

$V_{\triangle AOB} = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3$

2. Нахождение объема тела, образованного вращением сектора OACB.

Сектор $OACB$ является четвертью круга радиуса $R$. При вращении такого сектора вокруг одного из его радиусов ($OA$) образуется полусфера (половина шара) радиуса $R$.

Объем шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$. Следовательно, объем полусферы равен:

$V_{сектора} = \frac{1}{2} \cdot V_{шара} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$

3. Нахождение объема тела, образованного вращением сегмента ACB.

Тело, образованное вращением сегмента $ACB$, является разностью объемов тела, образованного вращением сектора $OACB$, и тела, образованного вращением треугольника $AOB$.

$V_{сегмента} = V_{сектора} - V_{\triangle AOB}$

Подставим найденные ранее объемы:

$V_{сегмента} = \frac{2}{3}\pi R^3 - \frac{1}{3}\pi R^3 = \frac{1}{3}\pi R^3$

4. Сравнение объемов.

Сравнивая объемы, полученные в пунктах 1 и 3, мы видим:

$V_{\triangle AOB} = \frac{1}{3}\pi R^3$

$V_{сегмента} = \frac{1}{3}\pi R^3$

Следовательно, $V_{\triangle AOB} = V_{сегмента}$.

Так как фигура симметрична относительно биссектрисы угла $AOB$, результат будет таким же и при вращении вокруг радиуса $OB$.

Таким образом, доказано, что треугольник $AOB$ и сегмент $ACB$ при вращении вокруг одного из боковых радиусов описывают равные объемы.

Ответ: Объемы тел вращения, образованных треугольником $AOB$ и сегментом $ACB$, равны, так как $V_{\triangle AOB} = \frac{1}{3}\pi R^3$ и $V_{сегмента} = V_{сектора} - V_{\triangle AOB} = \frac{2}{3}\pi R^3 - \frac{1}{3}\pi R^3 = \frac{1}{3}\pi R^3$, где $R$ - радиус сектора.