Номер 717, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

717. Шар с радиусом $R$ рассечен плоскостью на две части так, что боковая поверхность одной из них в $n$ раз больше боковой поверхности другой. Найдите высоты полученных шаровых сегментов и отношение их объемов.

Пусть шар радиуса $R$ рассечен плоскостью на два шаровых сегмента. Обозначим высоты этих сегментов как $h_1$ и $h_2$. Пусть $h_1$ соответствует сегменту с большей боковой поверхностью, а $h_2$ - с меньшей. Сумма высот двух сегментов равна диаметру шара:

$h_1 + h_2 = 2R$

Высоты полученных шаровых сегментов

Площадь боковой поверхности (сферической части) шарового сегмента вычисляется по формуле: $S = 2 \pi R h$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади боковых поверхностей двух полученных сегментов. Тогда:

$S_1 = 2 \pi R h_1$

$S_2 = 2 \pi R h_2$

По условию задачи, боковая поверхность одного сегмента в $n$ раз больше боковой поверхности другого:

$S_1 = n \cdot S_2$

Подставим формулы для площадей в это соотношение:

$2 \pi R h_1 = n \cdot (2 \pi R h_2)$

Сократив обе части на $2 \pi R$, получим:

$h_1 = n h_2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} h_1 + h_2 = 2R \\ h_1 = n h_2 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$n h_2 + h_2 = 2R$

$h_2(n + 1) = 2R$

Отсюда находим высоту меньшего сегмента:

$h_2 = \frac{2R}{n+1}$

Теперь найдем высоту большего сегмента:

$h_1 = n h_2 = n \cdot \frac{2R}{n+1} = \frac{2nR}{n+1}$

Ответ: Высоты полученных шаровых сегментов равны $\frac{2nR}{n+1}$ и $\frac{2R}{n+1}$.

Отношение их объемов

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

Пусть $V_1$ и $V_2$ — объемы сегментов с высотами $h_1$ и $h_2$ соответственно. Найдем их отношение $\frac{V_1}{V_2}$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi h_1^2 (R - \frac{h_1}{3})}{\pi h_2^2 (R - \frac{h_2}{3})} = \frac{h_1^2 (3R - h_1)}{h_2^2 (3R - h_2)}$

Мы уже знаем, что $h_1 = n h_2$. Подставим это в выражение:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{(n h_2)^2 (3R - n h_2)}{h_2^2 (3R - h_2)} = \frac{n^2 h_2^2 (3R - n h_2)}{h_2^2 (3R - h_2)} = n^2 \frac{3R - n h_2}{3R - h_2}$

Теперь подставим найденное ранее значение $h_2 = \frac{2R}{n+1}$:

$\frac{V_1}{V_2} = n^2 \frac{3R - n \cdot \frac{2R}{n+1}}{3R - \frac{2R}{n+1}}$

Вынесем $R$ в числителе и знаменателе дроби:

$\frac{V_1}{V_2} = n^2 \frac{R(3 - \frac{2n}{n+1})}{R(3 - \frac{2}{n+1})} = n^2 \frac{3 - \frac{2n}{n+1}}{3 - \frac{2}{n+1}}$

Приведем выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю:

Числитель: $3 - \frac{2n}{n+1} = \frac{3(n+1) - 2n}{n+1} = \frac{3n + 3 - 2n}{n+1} = \frac{n+3}{n+1}$

Знаменатель: $3 - \frac{2}{n+1} = \frac{3(n+1) - 2}{n+1} = \frac{3n + 3 - 2}{n+1} = \frac{3n+1}{n+1}$

Подставим упрощенные выражения обратно в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_1}{V_2} = n^2 \frac{\frac{n+3}{n+1}}{\frac{3n+1}{n+1}} = n^2 \frac{n+3}{3n+1}$

Ответ: Отношение объемов сегментов равно $\frac{n^2(n+3)}{3n+1}$.