Номер 718, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

718. В шар с радиусом $R$ вписан конус такой высоты, что его объем равен объему прилежащего к нему шарового сегмента. Найдите высоту конуса.

Пусть $R$ – радиус шара, $H$ – высота вписанного конуса, $r$ – радиус основания конуса.

Геометрические соотношения в осевом сечении шара дают связь между этими величинами. Осевое сечение представляет собой окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$, в которую вписан равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника равна $H$, а половина основания – $r$. Вершина конуса находится на поверхности шара, а его основание – это круг, являющийся сечением шара. Расстояние от центра шара до плоскости основания конуса равно $|R-H|$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания конуса $r$ (катет) и расстоянием от центра шара до основания конуса $|R-H|$ (катет). По теореме Пифагора:$r^2 + (R-H)^2 = R^2$Раскроем скобки и выразим $r^2$:$r^2 = R^2 - (R^2 - 2RH + H^2) = 2RH - H^2$

Объем конуса $V_{конус}$ вычисляется по формуле:$V_{конус} = \frac{1}{3}\pi r^2 H$Подставим найденное выражение для $r^2$:$V_{конус} = \frac{1}{3}\pi (2RH - H^2)H = \frac{\pi H^2}{3}(2R - H)$

Теперь найдем объем "прилежащего" шарового сегмента. Основание конуса делит шар на два сегмента.

1. Предположим, что "прилежащий сегмент" – это тот, который имеет общую с конусом высоту $H$. Объем такого шарового сегмента $V_{сегмент}$ равен:$V_{сегмент} = \pi H^2 (R - \frac{H}{3}) = \frac{\pi H^2}{3}(3R - H)$Приравняем объемы:$\frac{\pi H^2}{3}(2R - H) = \frac{\pi H^2}{3}(3R - H)$Так как $H \neq 0$, сокращаем на $\frac{\pi H^2}{3}$:$2R - H = 3R - H$$2R = 3R$, что возможно только при $R=0$. Это противоречит условию задачи. Следовательно, это предположение неверно.

2. Предположим, что "прилежащий сегмент" – это второй сегмент, отделяемый основанием конуса. Высота этого сегмента будет $h = 2R - H$. Найдем объем этого сегмента $V_{сегмент}$:$V_{сегмент} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) = \pi (2R-H)^2 (R - \frac{2R-H}{3})$$V_{сегмент} = \pi (2R-H)^2 (\frac{3R - (2R-H)}{3}) = \pi (2R-H)^2 (\frac{R+H}{3}) = \frac{\pi}{3}(2R-H)^2(R+H)$

Теперь приравняем объем конуса и объем этого сегмента согласно условию задачи:$V_{конус} = V_{сегмент}$$\frac{\pi H^2}{3}(2R - H) = \frac{\pi}{3}(2R-H)^2(R+H)$

Поскольку $0 < H < 2R$, то $2R-H \neq 0$. Сократим обе части уравнения на $\frac{\pi}{3}(2R-H)$:$H^2 = (2R-H)(R+H)$$H^2 = 2R^2 + 2RH - RH - H^2$$H^2 = 2R^2 + RH - H^2$$2H^2 - RH - 2R^2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно высоты $H$. Решим его:Дискриминант $D = (-R)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2R^2) = R^2 + 16R^2 = 17R^2$. Корни уравнения:$H = \frac{R \pm \sqrt{17R^2}}{2 \cdot 2} = \frac{R \pm R\sqrt{17}}{4}$

Получаем два возможных значения для $H$:$H_1 = \frac{R(1 + \sqrt{17})}{4}$$H_2 = \frac{R(1 - \sqrt{17})}{4}$

Так как высота конуса $H$ должна быть положительной величиной ($H>0$), а $\sqrt{17} > 1$, то корень $H_2$ является отрицательным и не подходит по физическому смыслу. Единственным решением является $H_1$.

Ответ: Высота конуса равна $\frac{R(1 + \sqrt{17})}{4}$.