Номер 715, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

715. Диаметр шара является осью цилиндра с высотой 50 см и радиусом основания 7 см. Найдите объем части шара, которая находится внутри цилиндра.

Согласно условию задачи, диаметр шара является осью цилиндра. Это означает, что их центры совпадают, а диаметр шара равен высоте цилиндра.

Обозначим: $H$ – высота цилиндра, $r$ – радиус основания цилиндра, $D$ – диаметр шара, $R$ – радиус шара.
Из условия имеем:
$H = 50$ см
$r = 7$ см
$D = H = 50$ см

Найдем радиус шара:
$R = \frac{D}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Объем части шара, которая находится внутри цилиндра, представляет собой объем пересечения этих двух тел. Чтобы найти этот объем, воспользуемся методом сечений. Разместим центр шара и цилиндра в начале координат, а ось цилиндра (и диаметр шара) — вдоль оси $Oz$.

Тело, объем которого мы ищем, ограничено поверхностью цилиндра $x^2 + y^2 \le r^2$ и поверхностью шара $x^2 + y^2 + z^2 \le R^2$. Радиус сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси $Oz$ на высоте $z$, равен $\rho(z) = \min(\sqrt{R^2 - z^2}, r)$, где $\sqrt{R^2 - z^2}$ — радиус сечения шара, а $r$ — радиус сечения цилиндра.

Найдем высоту $z$, на которой радиус сечения шара равен радиусу цилиндра:
$\sqrt{R^2 - z^2} = r$
$R^2 - z^2 = r^2$
$z^2 = R^2 - r^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$
$z = \pm \sqrt{576} = \pm 24$ см.

Это означает, что искомое тело можно условно разделить на три части по высоте:
1. Центральная часть, расположенная в диапазоне высот от $z=-24$ до $z=24$. В этой области радиус сечения шара больше радиуса цилиндра, поэтому форма сечения определяется цилиндром. Эта часть представляет собой прямой круговой цилиндр с радиусом $r=7$ см и высотой $h_{цил} = 24 - (-24) = 48$ см.
2. Два одинаковых сферических сегмента (шаровых слоя), которые "накрывают" цилиндр сверху (от $z=24$ до $z=25$) и снизу (от $z=-25$ до $z=-24$). В этих областях радиус сечения шара меньше радиуса цилиндра, поэтому форма сечения определяется шаром.

Найдем объем центральной цилиндрической части ($V_1$):
$V_1 = \pi r^2 h_{цил} = \pi \cdot 7^2 \cdot 48 = 49 \pi \cdot 48 = 2352\pi$ см$^3$.

Теперь найдем объем верхнего сферического сегмента ($V_2$) с помощью интегрирования объема элементарных дисков:
$V_2 = \int_{24}^{25} \pi (R^2 - z^2) dz = \pi \left[ R^2z - \frac{z^3}{3} \right]_{24}^{25}$
$V_2 = \pi \left[ 625z - \frac{z^3}{3} \right]_{24}^{25}$
$V_2 = \pi \left( (625 \cdot 25 - \frac{25^3}{3}) - (625 \cdot 24 - \frac{24^3}{3}) \right)$
$V_2 = \pi \left( (15625 - \frac{15625}{3}) - (15000 - \frac{13824}{3}) \right)$
$V_2 = \pi \left( \frac{31250}{3} - (15000 - 4608) \right) = \pi \left( \frac{31250}{3} - 10392 \right)$
$V_2 = \pi \left( \frac{31250 - 31176}{3} \right) = \frac{74\pi}{3}$ см$^3$.
Объем нижнего сегмента такой же по симметрии.

Общий объем $V$ равен сумме объемов этих трех частей:
$V = V_1 + 2V_2 = 2352\pi + 2 \cdot \frac{74\pi}{3} = 2352\pi + \frac{148\pi}{3}$
$V = \frac{3 \cdot 2352\pi + 148\pi}{3} = \frac{7056\pi + 148\pi}{3} = \frac{7204\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{7204\pi}{3}$ см$^3$.